Convoluzione e correlazione
Convoluzione
La convoluzione è un'operazione matematica utilizzata per esprimere la relazione tra input e output di un sistema LTI. Mette in relazione input, output e risposta all'impulso di un sistema LTI come
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
Dove y (t) = output di LTI
x (t) = input di LTI
h (t) = risposta all'impulso di LTI
Esistono due tipi di convoluzioni:
Convoluzione continua
Convoluzione discreta
Convoluzione continua
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(o)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Convoluzione discreta
$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(o)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
Utilizzando la convoluzione possiamo trovare la risposta dello stato zero del sistema.
Deconvoluzione
La deconvoluzione è un processo inverso alla convoluzione ampiamente utilizzato nell'elaborazione di segnali e immagini.
Proprietà della convoluzione
Proprietà commutativa
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
Proprietà distributiva
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
Proprietà associativa
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
Proprietà Shifting
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Convoluzione con Impulse
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
Convoluzione dei passi unitari
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
Proprietà di ridimensionamento
Se $ x (t) * h (t) = y (t) $
quindi $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $
Differenziazione dell'output
se $ y (t) = x (t) * h (t) $
quindi $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
o
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
La convoluzione di due sequenze causali è causale.
La convoluzione di due sequenze anti-causali è anti-causale.
La convoluzione di due rettangoli di lunghezza disuguale risulta un trapezio.
La convoluzione di due rettangoli di uguale lunghezza produce un triangolo.
Una funzione convoluta è essa stessa uguale all'integrazione di quella funzione.
Example: Sai che $ u (t) * u (t) = r (t) $
Secondo la nota sopra, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
Qui, ottieni il risultato semplicemente integrando $ u (t) $.
Limiti del segnale contorto
Se due segnali sono contorti, il segnale convoluto risultante ha il seguente intervallo:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
Es: trova la gamma di convoluzione dei segnali fornita di seguito
Qui abbiamo due rettangoli di lunghezza diversa da convolgere, che risulta un trapezio.
La gamma del segnale contorto è:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
Quindi il risultato è trapezio con periodo 7.
Area del segnale contorto
L'area sotto il segnale contorto è data da $ A_y = A_x A_h $
Dove A x = area sotto il segnale di ingresso
A h = area sotto risposta all'impulso
A y = area sotto il segnale di uscita
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
Prendi l'integrazione da entrambi i lati
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
Sappiamo che l'area di qualsiasi segnale è l'integrazione di quel segnale stesso.
$ \ quindi A_y = A_x \, A_h $
Componente CC
La componente CC di qualsiasi segnale è data da
$ \ text {componente DC} = {\ text {area del segnale} \ over \ text {periodo del segnale}} $
Es: qual è la componente cc del segnale convoluto risultante fornito di seguito?
Qui area di x 1 (t) = lunghezza × larghezza = 1 × 3 = 3
area di x 2 (t) = lunghezza × larghezza = 1 × 4 = 4
area del segnale contorto = area di x 1 (t) × area di x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
Durata del segnale convoluto = somma dei limiti inferiori <t <somma dei limiti superiori
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \ quindi $ Dc componente del segnale convoluto = $ \ text {area del segnale} \ su \ text {periodo del segnale} $
Componente DC = $ {12 \ over 7} $
Convoluzione discreta
Vediamo come calcolare la convoluzione discreta:
i. To calculate discrete linear convolution:
Convolgere due sequenze x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
Uscita contorta = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: se due sequenze qualsiasi hanno rispettivamente m, n numero di campioni, la sequenza convoluta risultante avrà [m + n-1] campioni.
Example: Convolgere due sequenze x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
Uscita contorta y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Qui x [n] contiene 3 campioni e h [n] ha anche 3 campioni, quindi la sequenza risultante ha 3 + 3-1 = 5 campioni.
ii. To calculate periodic or circular convolution:
La convoluzione periodica è valida per la trasformata di Fourier discreta. Per calcolare la convoluzione periodica tutti i campioni devono essere reali. La convoluzione periodica o circolare è anche chiamata convoluzione veloce.
Se due sequenze di lunghezza m, n rispettivamente sono convolute usando una convoluzione circolare, la sequenza risultante ha max [m, n] campioni.
Es: convoluta due sequenze x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} utilizzando la convoluzione circolare
Uscita contorta normale y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Qui x [n] contiene 3 campioni e h [n] ha anche 3 campioni. Quindi la sequenza risultante ottenuta dalla convoluzione circolare deve avere max [3,3] = 3 campioni.
Ora per ottenere il risultato della convoluzione periodica, i primi 3 campioni [poiché il periodo è 3] di convoluzione normale è lo stesso, i prossimi due campioni vengono aggiunti ai primi campioni come mostrato di seguito:
$ \ quindi $ Risultato di convoluzione circolare $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
Correlazione
La correlazione è una misura della somiglianza tra due segnali. La formula generale per la correlazione è
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
Esistono due tipi di correlazione:
Correlazione automatica
Correlazione Cros
Funzione di correlazione automatica
È definito come correlazione di un segnale con se stesso. La funzione di correlazione automatica è una misura della somiglianza tra un segnale e la sua versione ritardata. È rappresentato con R ($ \ tau $).
Considera un segnale x (t). La funzione di autocorrelazione di x (t) con la sua versione ritardata è data da
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Dove $ \ tau $ = ricerca o scansione o parametro di ritardo.
Se il segnale è complesso, la funzione di correlazione automatica è data da
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$
Proprietà della funzione di autocorrelazione del segnale energetico
La correlazione automatica mostra una simmetria coniugata, ovvero R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
La funzione di correlazione automatica del segnale di energia all'origine cioè a $ \ tau $ = 0 è uguale all'energia totale di quel segnale, che è data come:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
Funzione di correlazione automatica $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
La funzione di correlazione automatica è massima a $ \ tau $ = 0 cioè | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
La funzione di correlazione automatica e le densità spettrali dell'energia sono coppie di trasformata di Fourier. cioè
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $
$ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Funzione di correlazione automatica dei segnali di potenza
La funzione di autocorrelazione del segnale periodico di potenza con il periodo T è data da
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
Proprietà
La correlazione automatica del segnale di potenza mostra una simmetria coniugata, ad esempio $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
La funzione di correlazione automatica del segnale di potenza a $ \ tau = 0 $ (all'origine) è uguale alla potenza totale di quel segnale. cioè
$ R (0) = \ rho $
Funzione di correlazione automatica del segnale di alimentazione $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
La funzione di correlazione automatica del segnale di potenza è massima a $ \ tau $ = 0, ovvero
$ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
La funzione di correlazione automatica e le densità spettrali di potenza sono coppie di trasformata di Fourier. cioè
$ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Spettro di densità
Vediamo gli spettri di densità:
Spettro di densità energetica
Lo spettro della densità energetica può essere calcolato utilizzando la formula:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
Spettro di densità di potenza
Lo spettro della densità di potenza può essere calcolato utilizzando la formula:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
Funzione di correlazione incrociata
La correlazione incrociata è la misura della somiglianza tra due segnali diversi.
Considera due segnali x 1 (t) e x 2 (t). La correlazione incrociata di questi due segnali $ R_ {12} (\ tau) $ è data da
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Se i segnali sono complessi allora
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
Proprietà della funzione di correlazione incrociata dei segnali di energia e potenza
La correlazione automatica mostra una simmetria coniugata, ovvero $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.
La correlazione incrociata non è commutativa come la convoluzione, ad es
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
Se R 12 (0) = 0 significa, se $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, allora i due segnali sono detti ortogonali.
Per il segnale di alimentazione se $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ allora si dice che due segnali sono ortogonali.
La funzione di correlazione incrociata corrisponde alla moltiplicazione degli spettri di un segnale al complesso coniugato dello spettro di un altro segnale. cioè
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
Questo è anche chiamato teorema di correlazione.
Teorema di Parseval
Il teorema di Parseval per i segnali energetici afferma che l'energia totale in un segnale può essere ottenuta dallo spettro del segnale come
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $
Note: Se un segnale ha energia E, la versione in scala temporale di quel segnale x (at) ha energia E / a.