Trasformate di Fourier

Lo svantaggio principale della serie di Fourier è che è applicabile solo ai segnali periodici. Ci sono alcuni segnali prodotti naturalmente come non periodici o aperiodici, che non possiamo rappresentare utilizzando la serie di Fourier. Per superare questa lacuna, Fourier ha sviluppato un modello matematico per trasformare i segnali dal dominio del tempo (o spaziale) al dominio della frequenza e viceversa, chiamato "trasformata di Fourier".

La trasformata di Fourier ha molte applicazioni in fisica e ingegneria come analisi di sistemi LTI, RADAR, astronomia, elaborazione del segnale ecc.

Derivazione della trasformata di Fourier dalla serie di Fourier

Si consideri un segnale periodico f (t) con periodo T. La rappresentazione in serie di Fourier complessa di f (t) è data come

$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1) $$

Permettere ${1 \over T_0} = \Delta f$, allora l'equazione 1 diventa

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2) $

ma tu lo sai

$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt$

Sostituisci nell'equazione 2.

(2) $ \Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft} $

Permettere $t_0={T\over2}$

$ = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f $

Nel limite come $T \to \infty, \Delta f$ approcci differenziale $df, k \Delta f$ diventa una variabile continua $f$e la somma diventa integrazione

$$ f(t) = lim_{T \to \infty} ⁡\left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\} $$

$$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\pi ft} df $$

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$

$\text{Where}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$

Trasformata di Fourier delle funzioni di base

Esaminiamo la trasformata di Fourier delle funzioni di base:

Funzione FT di GATE

$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$

Funzione FT di impulso

$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt] $

$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0 $

$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1 $

$\quad \therefore \delta (\omega) = 1 $

Funzione FT di Unit Step:

$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$

FT di esponenziali

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$

$ e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$

$ e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$

FT della funzione Signum

$ sgn(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$

Condizioni per l'esistenza della trasformata di Fourier

Qualsiasi funzione f (t) può essere rappresentata usando la trasformata di Fourier solo quando la funzione soddisfa le condizioni di Dirichlet. cioè

• La funzione f (t) ha un numero finito di massimi e minimi.

• Ci deve essere un numero finito di discontinuità nel segnale f (t), nell'intervallo di tempo dato.

• Deve essere assolutamente integrabile nell'intervallo di tempo dato, es

  $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Trasformate di Fourier a tempo discreto (DTFT)

La trasformata di Fourier in tempo discreto (DTFT) o la trasformata di Fourier di una sequenza in tempo discreto x [n] è una rappresentazione della sequenza in termini di sequenza esponenziale complessa $e^{j\omega n}$.

La sequenza DTFT x [n] è data da

$$ X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1) $$

Qui, X (ω) è una funzione complessa della variabile di frequenza reale ω e può essere scritta come

$$ X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega) $$

Dove X _re (ω), X _img (ω) sono rispettivamente parti reali e immaginarie di X (ω).

$$ X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega) $$

$$ X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega) $$

$$ |X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2 $$

E X (ω) può anche essere rappresentato come $ X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)} $

Dove $\theta(\omega) = arg{X(\omega) } $

$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$ sono chiamati spettri di grandezza e fase di X (ω).

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa

$$ x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ...\,... (2)$$

Condizione di convergenza:

Le serie infinite nell'equazione 1 possono essere convergenti o meno. x (n) è assolutamente sommabile.

$$ \ text {quando} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Una sequenza assolutamente sommabile ha sempre un'energia finita ma una sequenza a energia finita non deve essere necessariamente sommabile in modo assoluto.