Trasformate Z (ZT)

L'analisi dei sistemi LTI a tempo continuo può essere eseguita utilizzando le trasformate z. È un potente strumento matematico per convertire equazioni differenziali in equazioni algebriche.

La trasformata z bilaterale (bilaterale) di un segnale temporale discreto x (n) è data come

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La trasformata z unilaterale (unilaterale) di un segnale temporale discreto x (n) è data come

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La trasformata Z può esistere per alcuni segnali per i quali non esiste la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT).

Concetto di trasformazione Z e trasformazione Z inversa

La trasformata Z di un segnale temporale discreto x (n) può essere rappresentata con X (Z) ed è definita come

$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $

Se $ Z = re ^ {j \ omega} $ allora l'equazione 1 diventa

$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $

$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $

L'equazione sopra rappresenta la relazione tra trasformata di Fourier e trasformata Z.

$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $

Trasformata Z inversa

$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $

$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $

$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $

Sostituisci $ re ^ {j \ omega} = z $.

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $

Sostituisci nell'equazione 3.

$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $