GATE数学シラバス

件名コード：MA

コース構成

セクション/ユニット	トピック
セクションA	線形代数
セクションB	複雑な分析
セクションC	実解析
セクションD	常微分方程式
セクションE	代数
セクションF	機能解析
セクションG	数値解析
セクションH	偏微分方程式
セクションI	トポロジー
セクションJ	確率と統計
セクションK	線形計画

コースシラバス

Section A: Linear Algebra

• 有限次元のベクトル空間
• 線形変換とその行列表現-
  • Rank
  • 線形方程式のシステム
  • 固有値と固有ベクトル
  • 最小多項式
  • ケイリー・ハミルトンの定理
  • Diagonalization
  • ジョルダン標準形
  • Hermitian
  • Skewhermitian
  • ユニタリ行列
• 有限次元の内部製品スペース-
  • グラムシュミット正規化プロセス
  • 自己随伴作用素、明確な形式

Section B: Complex Analysis

• 分析関数、等角写像、双線形変換
• 複雑な統合-
  • コーシーの積分定理と公式
  • リウヴィルの定理
  • 最大絶対値の原理
• 零点と特異点
• テイラーとローランのシリーズ
• 実積分を評価するための残差定理と応用

Section C: Real Analysis

• シーケンスと一連の関数-
  • 一様収束
  • べき級数
  • フーリエ級数
  • いくつかの変数の関数
  • Maxima
  • Minima
• リーマン積分−
  • 多重積分
  • Line
  • 表面と体積積分
  • 緑の定理
  • Stokes
  • Gauss
• 距離空間-
  • Compactness
  • Completeness
  • ワイエルシュトラス近似定理
• ルベーグ測度−
  • 可測関数
• ルベーグ積分−
  • ファトゥの補題
  • 優収束定理

Section D: Ordinary Differential Equations

• 一次常微分方程式-

  • 初期値問題の存在と一意性の定理

  • 線形一次常微分方程式のシステム

  • 定数係数を持つ高次の線形常微分方程式

• 可変係数を持つ線形2階常微分方程式

• 常微分方程式を解くためのラプラス変換の方法、級数解（べき級数、フロベニウス法）

• レジェンドレ関数とベッセル関数およびそれらの直交特性

Section E: Algebra

• 群、部分群、正規部分群、商群、準同型定理

• Automorphisms

• 巡回群と順列群

• Sylowの定理とその応用

• 環、イデアル、極大イデアルと極大イデアル、商リング、一意分解ドメイン、主イデアルドメイン、ユークリッドドメイン、多項式リング、および還元不可能性基準

• 体、有限体、および体の拡大

Section F: Functional Analysis

• ノルム線形空間
• バナッハ空間
• ハーン-バナッハ拡張定理
• オープンマッピングとクローズドグラフ定理
• 一様有界性原理
• 内積空間
• ヒルベルト空間
• 正規直交基底
• リースの表現定理
• 有界線形演算子

Section G: Numerical Analysis

• 代数方程式と超越方程式の数値解法-
  • Bisection
  • 割線法
  • ニュートンラプソン法
  • 不動点反復
• 補間-
  • 多項式補間のエラー
  • ラグランジュ、ニュートン補間
• 数値微分
• 数値積分-
  • 台形公式とシンプソンの公式
• 連立一次方程式の数値解法-
  • 直接法（ガウスの消去法、Lu分解）
• 反復法（JacobiおよびGauss-Seidel）
• 常微分方程式の数値解法
• 初期値問題-
  • オイラー法
  • 2次のルンゲクッタ法

Section H: Partial Differential Equations

• 線形および準線形一階偏微分方程式-

  • 特性曲線法

• 2つの変数の2次線形方程式とその分類

• コーシー、ディリクレ、ノイマンの問題

• ラプラスの解、2次元デカルト座標の波、極座標の内部および外部ディリクレ問題

• 1つの空間変数で波動方程式と拡散方程式を解くための変数分離法

• 上記の方程式の解のフーリエ級数およびフーリエ変換とラプラス変換の方法

Section I: Topology

• トポロジーの基本概念
• Bases
• Subbases
• 部分空間トポロジー
• 順序トポロジー
• 製品トポロジー
• Connectedness
• Compactness
• Countability
• 分離公理
• ウリゾーンの補題

Section J: Probability and Statistics

• 確率空間、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ランダム

• 変数、結合および条件付き分布、標準確率分布とそれらのプロパティ（離散一様、二項、ポアソン、幾何、負の二項、正規、指数、ガンマ、連続一様、二変量正規、多項）、期待値、条件付き期待値、モーメント

• 大数の法則、中心極限定理

• サンプリング分布、UMVU推定量、最尤推定量

• 区間推定

• 仮説の検定、正規分布に基づく標準的なパラメトリック検定

• 単純な線形回帰

Section H: Linear programming

• 線形計画問題とその定式化、凸集合とその特性、グラフィカルな方法、基本的な実行可能なソリューション、シンプレックス法、Big-Mおよび2フェーズ法

• 実行不可能で無制限のLPP、代替オプティマ

• 双対問題と双対定理、双対シンプレックス法とその最適化後分析への応用

• 平衡および不平衡輸送問題、輸送問題を解決するためのフォーゲルの近似法

• 割り当ての問題を解決するためのハンガリーの方法

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