GATE数学シラバス

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コース構成

セクション/ユニット トピック
セクションA 線形代数
セクションB 複雑な分析
セクションC 実解析
セクションD 常微分方程式
セクションE 代数
セクションF 機能解析
セクションG 数値解析
セクションH 偏微分方程式
セクションI トポロジー
セクションJ 確率と統計
セクションK 線形計画

コースシラバス

Section A: Linear Algebra

  • 有限次元のベクトル空間
  • 線形変換とその行列表現-
    • Rank
    • 線形方程式のシステム
    • 固有値と固有ベクトル
    • 最小多項式
    • ケイリー・ハミルトンの定理
    • Diagonalization
    • ジョルダン標準形
    • Hermitian
    • Skewhermitian
    • ユニタリ行列
  • 有限次元の内部製品スペース-
    • グラムシュミット正規化プロセス
    • 自己随伴作用素、明確な形式

Section B: Complex Analysis

  • 分析関数、等角写像、双線形変換
  • 複雑な統合-
    • コーシーの積分定理と公式
    • リウヴィルの定理
    • 最大絶対値の原理
  • 零点と特異点
  • テイラーとローランのシリーズ
  • 実積分を評価するための残差定理と応用

Section C: Real Analysis

  • シーケンスと一連の関数-
    • 一様収束
    • べき級数
    • フーリエ級数
    • いくつかの変数の関数
    • Maxima
    • Minima
  • リーマン積分−
    • 多重積分
    • Line
    • 表面と体積積分
    • 緑の定理
    • Stokes
    • Gauss
  • 距離空間-
    • Compactness
    • Completeness
    • ワイエルシュトラス近似定理
  • ルベーグ測度−
    • 可測関数
  • ルベーグ積分−
    • ファトゥの補題
    • 優収束定理

Section D: Ordinary Differential Equations

  • 一次常微分方程式-

    • 初期値問題の存在と一意性の定理

    • 線形一次常微分方程式のシステム

    • 定数係数を持つ高次の線形常微分方程式

  • 可変係数を持つ線形2階常微分方程式

  • 常微分方程式を解くためのラプラス変換の方法、級数解(べき級数、フロベニウス法)

  • レジェンドレ関数とベッセル関数およびそれらの直交特性

Section E: Algebra

  • 群、部分群、正規部分群、商群、準同型定理

  • Automorphisms

  • 巡回群と順列群

  • Sylowの定理とその応用

  • 環、イデアル、極大イデアルと極大イデアル、商リング、一意分解ドメイン、主イデアルドメイン、ユークリッドドメイン、多項式リング、および還元不可能性基準

  • 体、有限体、および体の拡大

Section F: Functional Analysis

  • ノルム線形空間
  • バナッハ空間
  • ハーン-バナッハ拡張定理
  • オープンマッピングとクローズドグラフ定理
  • 一様有界性原理
  • 内積空間
  • ヒルベルト空間
  • 正規直交基底
  • リースの表現定理
  • 有界線形演算子

Section G: Numerical Analysis

  • 代数方程式と超越方程式の数値解法-
    • Bisection
    • 割線法
    • ニュートンラプソン法
    • 不動点反復
  • 補間-
    • 多項式補間のエラー
    • ラグランジュ、ニュートン補間
  • 数値微分
  • 数値積分-
    • 台形公式とシンプソンの公式
  • 連立一次方程式の数値解法-
    • 直接法(ガウスの消去法、Lu分解)
  • 反復法(JacobiおよびGauss-Seidel)
  • 常微分方程式の数値解法
  • 初期値問題-
    • オイラー法
    • 2次のルンゲクッタ法

Section H: Partial Differential Equations

  • 線形および準線形一階偏微分方程式-

    • 特性曲線法

  • 2つの変数の2次線形方程式とその分類

  • コーシー、ディリクレ、ノイマンの問題

  • ラプラスの解、2次元デカルト座標の波、極座標の内部および外部ディリクレ問題

  • 1つの空間変数で波動方程式と拡散方程式を解くための変数分離法

  • 上記の方程式の解のフーリエ級数およびフーリエ変換とラプラス変換の方法

Section I: Topology

  • トポロジーの基本概念
  • Bases
  • Subbases
  • 部分空間トポロジー
  • 順序トポロジー
  • 製品トポロジー
  • Connectedness
  • Compactness
  • Countability
  • 分離公理
  • ウリゾーンの補題

Section J: Probability and Statistics

  • 確率空間、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ランダム

  • 変数、結合および条件付き分布、標準確率分布とそれらのプロパティ(離散一様、二項、ポアソン、幾何、負の二項、正規、指数、ガンマ、連続一様、二変量正規、多項)、期待値、条件付き期待値、モーメント

  • 大数の法則、中心極限定理

  • サンプリング分布、UMVU推定量、最尤推定量

  • 区間推定

  • 仮説の検定、正規分布に基づく標準的なパラメトリック検定

  • 単純な線形回帰

Section H: Linear programming

  • 線形計画問題とその定式化、凸集合とその特性、グラフィカルな方法、基本的な実行可能なソリューション、シンプレックス法、Big-Mおよび2フェーズ法

  • 実行不可能で無制限のLPP、代替オプティマ

  • 双対問題と双対定理、双対シンプレックス法とその最適化後分析への応用

  • 平衡および不平衡輸送問題、輸送問題を解決するためのフォーゲルの近似法

  • 割り当ての問題を解決するためのハンガリーの方法

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