퍼지 논리-고전 세트 이론

ㅏ set다른 요소의 정렬되지 않은 컬렉션입니다. 세트 대괄호를 사용하여 요소를 나열하여 명시 적으로 작성할 수 있습니다. 요소의 순서가 변경되거나 집합의 요소가 반복되면 집합에서 변경되지 않습니다.

예

모든 양의 정수 집합입니다.
태양계에있는 모든 행성의 집합.
인도의 모든 주 집합입니다.
알파벳의 모든 소문자 집합입니다.

집합의 수학적 표현

세트는 두 가지 방법으로 표현할 수 있습니다.

명단 또는 표 형식

이 양식에서 세트는이를 구성하는 모든 요소를 나열하여 표시됩니다. 요소는 중괄호로 묶여 있으며 쉼표로 구분됩니다.

다음은 명단 또는 표 형식의 세트 예입니다-

영어 알파벳 모음 집합, A = {a, e, i, o, u}
10보다 작은 홀수 세트, B = {1,3,5,7,9}

빌더 표기법 설정

이 형식에서 집합은 집합의 요소가 공통으로 갖는 속성을 지정하여 정의됩니다. 집합은 A = {x : p (x)}로 설명됩니다.

Example 1 − {a, e, i, o, u} 집합은 다음과 같이 작성됩니다.

A = {x : x는 영어 알파벳 모음}

Example 2 − {1,3,5,7,9} 세트는 다음과 같이 작성됩니다.

B = {x : 1 ≤ x <10 및 (x % 2) ≠ 0}

요소 x가 집합 S의 구성원이면 x∈S로 표시되고 요소 y가 집합 S의 구성원이 아니면 y∉S로 표시됩니다.

Example − S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S이지만 1.5 ∉ S 인 경우

세트의 카디널리티

| S || S |로 표시되는 집합 S의 카디널리티는 집합의 요소 수입니다. 이 번호는 기본 번호라고도합니다. 집합에 무한한 수의 요소가있는 경우 카디널리티는 ∞∞입니다.

Example− | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

두 세트 X와 Y가있는 경우 | X | = | Y | 동일한 카디널리티를 갖는 두 세트 X 및 Y를 나타냅니다. X의 원소 개수가 Y의 원소 개수와 정확히 같을 때 발생합니다.이 경우 X에서 Y까지의 bijective 함수 'f'가 있습니다.

| X | ≤ | Y | 집합 X의 카디널리티가 집합 Y의 카디널리티보다 작거나 같음을 나타냅니다. X의 원소 개수가 Y보다 적거나 같을 때 발생합니다. 여기에는 X에서 Y까지의 주입 함수 'f'가 있습니다.

| X | <| Y | 집합 X의 카디널리티가 집합 Y의 카디널리티보다 작음을 나타냅니다. X의 원소 개수가 Y의 개수보다 적을 때 발생합니다. 여기서 X에서 Y까지의 함수 'f'는 주입 기능이지만 bijective는 아닙니다.

만약 | X | ≤ | Y | 및 | X | ≤ | Y | 다음 | X | = | Y | . 세트 X와 Y는 일반적으로equivalent sets.

세트의 종류

세트는 여러 유형으로 분류 할 수 있습니다. 그중 일부는 유한, 무한, 하위 집합, 범용, 적절한, 단일 집합 등입니다.

유한 세트

한정된 수의 요소를 포함하는 집합을 유한 집합이라고합니다.

Example − S = {x | x ∈ N 및 70> x> 50}

무한 세트

무한한 수의 요소를 포함하는 집합을 무한 집합이라고합니다.

Example − S = {x | x ∈ N 및 x> 10}

부분 집합

X의 모든 요소가 집합 Y의 요소 인 경우 집합 X는 집합 Y (X ⊆ Y로 작성)의 하위 집합입니다.

Example 1− Let, X = {1,2,3,4,5,6} 및 Y = {1,2}. 여기서 집합 Y는 집합 Y의 모든 요소가 집합 X에 있으므로 집합 X의 하위 집합입니다. 따라서 Y⊆X를 쓸 수 있습니다.

Example 2− Let, X = {1,2,3} 및 Y = {1,2,3}. 여기서 집합 Y는 집합 Y의 모든 요소가 집합 X에 있으므로 집합 X의 부분 집합 (적절한 부분 집합이 아님)입니다. 따라서 Y⊆X를 작성할 수 있습니다.

적절한 하위 집합

용어 "적절한 부분 집합"은 "부분 집합이지만 같지 않은 부분 집합"으로 정의 할 수 있습니다. X의 모든 요소가 집합 Y 및 | X |의 요소 인 경우 집합 X는 집합 Y (X ⊂ Y로 기록됨)의 적절한 하위 집합입니다. <| Y |.

Example− Let, X = {1,2,3,4,5,6} 및 Y = {1,2}. 여기서 Y ⊂ X를 설정합니다. Y의 모든 요소가 X에도 포함되어 있고 X에는 설정 Y보다 큰 요소가 하나 이상 있기 때문입니다.

유니버설 세트

특정 컨텍스트 또는 애플리케이션에있는 모든 요소의 모음입니다. 해당 컨텍스트 또는 응용 프로그램의 모든 집합은 본질적으로이 범용 집합의 하위 집합입니다. 유니버설 세트는 U로 표시됩니다.

Example− U를 지구상의 모든 동물의 집합으로 정의 할 수 있습니다. 이 경우 모든 포유류의 집합은 U의 하위 집합이고, 모든 물고기 집합은 U의 하위 집합이며, 모든 곤충 집합은 U의 하위 집합입니다.

빈 세트 또는 널 세트

빈 세트에는 요소가 없습니다. Φ로 표시됩니다. 빈 집합의 요소 수가 유한하므로 빈 집합은 유한 집합입니다. 빈 세트 또는 널 세트의 카디널리티는 0입니다.

Example – S = {x | x ∈ N 및 7 <x <8} = Φ

싱글 톤 세트 또는 단위 세트

싱글 톤 세트 또는 단위 세트에는 하나의 요소 만 포함됩니다. 싱글 톤 세트는 {s}로 표시됩니다.

Example − S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

동일 세트

두 세트가 동일한 요소를 포함하는 경우 동일하다고합니다.

Example − A = {1,2,6} 및 B = {6,1,2} 인 경우 집합 A의 모든 요소가 집합 B의 요소이고 집합 B의 모든 요소가 집합 A의 요소이므로 동일합니다.

동등한 세트

두 세트의 카디널리티가 동일하면 동등한 세트라고합니다.

Example− A = {1,2,6} 및 B = {16,17,22} 인 경우 A의 카디널리티가 B의 카디널리티와 동일하므로 동일합니다. 즉 | A | = | B | = 3

겹치는 세트

하나 이상의 공통 요소가있는 두 세트를 중첩 세트라고합니다. 세트가 겹치는 경우 −

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right)-n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ 왼쪽 (A \ 오른쪽) = n \ 왼쪽 (AB \ 오른쪽) + n \ 왼쪽 (A \ cap B \ 오른쪽) $$

$$ n \ 왼쪽 (B \ 오른쪽) = n \ 왼쪽 (BA \ 오른쪽) + n \ 왼쪽 (A \ cap B \ 오른쪽) $$

Example− Let, A = {1,2,6} 및 B = {6,12,42}. 공통 요소 '6'이 있으므로이 세트는 겹치는 세트입니다.

분리 된 세트

두 세트 A와 B는 공통 요소가 하나도없는 경우 분리 세트라고합니다. 따라서 분리 된 집합은 다음과 같은 속성을 갖습니다.

$$ n \ 왼쪽 (A \ cap B \ 오른쪽) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example − A = {1,2,6} 및 B = {7,9,14}, 단일 공통 요소가 없으므로 이러한 집합은 겹치는 집합입니다.

클래식 세트 작업

집합 연산에는 집합 합집합, 집합 교차, 집합 차이, 집합 보완 및 카티 전 곱이 포함됩니다.

노동 조합

집합 A와 B의 합집합 (A ∪ BA ∪ B로 표시)은 A, B 또는 A와 B 모두에있는 요소 집합입니다. 따라서 A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example − A = {10,11,12,13}이고 B = {13,14,15}이면 A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} – 공통 요소는 한 번만 발생합니다.

교차로

집합 A와 B의 교집합 (A ∩ B로 표시)은 A와 B 모두에있는 요소 집합입니다. 따라서 A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}입니다.

차이 / 상대 보완

집합 A와 B의 집합 차이 (A–B로 표시)는 A에만 있지만 B에는없는 요소 집합입니다. 따라서 A − B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}입니다.

Example− A = {10,11,12,13}이고 B = {13,14,15}이면 (A − B) = {10,11,12} 및 (B − A) = {14,15} . 여기에서 (A − B) ≠ (B − A)를 볼 수 있습니다.

세트의 보완

집합 A의 보수 (A '로 표시)는 집합 A에없는 요소 집합입니다. 따라서 A'= {x | x ∉ A}입니다.

더 구체적으로, A ′ = (U-A) 여기서 U는 모든 객체를 포함하는 범용 집합입니다.

Example − A = {x | x가 추가 정수 세트에 속하면} A ′ = {y | y는 홀수 정수 세트에 속하지 않음}

데카르트 곱 / 외적

n 개의 세트 수 A1, A2,… An의 데카르트 곱은 A1 × A2 ... × An으로 표시되는 모든 가능한 순서 쌍 (x1, x2,… xn)으로 정의 될 수 있습니다. 여기서 x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ 안

Example − A = {a, b} 및 B = {1,2} 두 세트를 취하면

A와 B의 데카르트 곱은 다음과 같이 작성됩니다. − A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

그리고 B와 A의 데카르트 곱은 − B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

클래식 세트의 속성

세트의 속성은 솔루션을 얻는 데 중요한 역할을합니다. 다음은 클래식 세트의 다양한 속성입니다.

교환 재산

2 세트 A 과 B,이 속성 상태-

$$ A \ 컵 B = B \ 컵 A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

연관 속성

3 개 세트 A, B 과 C,이 속성 상태-

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

분배 재산

3 개 세트 A, B 과 C,이 속성 상태-

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

멱 등성 속성

모든 세트 A,이 속성 상태-

$$ A \ 컵 A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

신원 속성

세트 용 A 그리고 유니버설 세트 X,이 속성 상태-

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ 컵 X = X $$

전이 속성

3 개 세트 A, B 과 C, 속성 상태-

$ A \ subseteq B \ subseteq C $이면 $ A \ subseteq C $

Involution 속성

모든 세트 A,이 속성 상태-

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

드 모건의 법칙

그것은 매우 중요한 법이며 호변과 모순을 증명하는 데 도움이됩니다. 이 법은 다음과 같이 말합니다.

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$