Teoria grafów - przykłady
W tym rozdziale omówimy kilka standardowych przykładów, aby zademonstrować koncepcje, które omówiliśmy już we wcześniejszych rozdziałach.
Przykład 1
Find the number of spanning trees in the following graph.
Rozwiązanie
Liczba drzew rozpinających uzyskana z powyższego wykresu wynosi 3. Są one następujące -
Te trzy są drzewami rozpinającymi dla danych wykresów. Tutaj wykresy I i II są względem siebie izomorficzne. Oczywiście liczba nieizomorficznych drzew rozpinających wynosi dwa.
Przykład 2
How many simple non-isomorphic graphs are possible with 3 vertices?
Rozwiązanie
Możliwe są 4 nieizomorficzne grafy z 3 wierzchołkami. Przedstawiono je poniżej.
Przykład 3
Let ‘G’ be a connected planar graph with 20 vertices and the degree of each vertex is 3. Find the number of regions in the graph.
Rozwiązanie
Twierdzenie o sumie stopni
20 Σ i = 1 st (Vi) = 2 | E |
20 (3) = 2 | E |
| E | = 30
Według wzoru Eulera,
| V | + | R | = | E | + 2
20+ | R | = 30 + 2
| R | = 12
Stąd liczba regionów wynosi 12.
Przykład 4
What is the chromatic number of complete graph Kn?
Rozwiązanie
Na pełnym wykresie każdy wierzchołek sąsiaduje z pozostałymi (n – 1) wierzchołkami. Dlatego każdy wierzchołek wymaga nowego koloru. Stąd liczba chromatyczna K n = n.
Przykład 5
What is the matching number for the following graph?
Rozwiązanie
Liczba wierzchołków = 9
Możemy dopasować tylko 8 wierzchołków.
Pasująca liczba to 4.
Przykład 6
What is the line covering number of for the following graph?
Rozwiązanie
Liczba wierzchołków = | V | = n = 7
Numer pokrycia linii = (α 1 ) ≥ [n / 2] = 3
α 1 ≥ 3
Używając 3 krawędzi, możemy pokryć wszystkie wierzchołki.
Stąd numer obejmujący linię to 3.