Fuzzy Logic - ฟังก์ชันการเป็นสมาชิก

เรารู้แล้วว่าตรรกะฟัซซีไม่ใช่ตรรกะที่คลุมเครือ แต่เป็นตรรกะที่ใช้อธิบายความคลุมเครือ ความคลุมเครือนี้โดดเด่นที่สุดด้วยฟังก์ชันการเป็นสมาชิก กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชันการเป็นสมาชิกแสดงถึงระดับของความจริงในตรรกะที่คลุมเครือ

ต่อไปนี้เป็นประเด็นสำคัญบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันการเป็นสมาชิก -

• ฟังก์ชั่นการเป็นสมาชิกเปิดตัวครั้งแรกในปี 1965 โดย Lofti A. Zadeh ในเอกสารวิจัยชิ้นแรกของเขาเรื่อง "ชุดคลุมเครือ"

• ฟังก์ชันการเป็นสมาชิกจะแสดงลักษณะของความคลุมเครือ (เช่นข้อมูลทั้งหมดในชุดคลุมเครือ) ไม่ว่าองค์ประกอบในชุดฟัซซีจะไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

• ฟังก์ชันการเป็นสมาชิกสามารถกำหนดเป็นเทคนิคในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติโดยอาศัยประสบการณ์มากกว่าความรู้

• ฟังก์ชันการเป็นสมาชิกแสดงด้วยรูปแบบกราฟิก

• กฎสำหรับการกำหนดความคลุมเครือก็คลุมเครือเช่นกัน

สัญกรณ์คณิตศาสตร์

เราได้ศึกษาแล้วว่าเซตฟัซซี่Ãในจักรวาลของข้อมูลUสามารถกำหนดเป็นเซตของคู่ลำดับและสามารถแทนค่าทางคณิตศาสตร์เป็น -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

ที่นี่ $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = ฟังก์ชันการเป็นสมาชิกของ $ \ widetilde {A} $; สิ่งนี้ถือว่าค่าในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 นั่นคือ $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $ ฟังก์ชันการเป็นสมาชิก $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ แมป $ U $ กับพื้นที่สมาชิก $ M $

จุด $ \ left (\ bullet \ right) $ ในฟังก์ชันการเป็นสมาชิกที่อธิบายไว้ข้างต้นแสดงถึงองค์ประกอบในชุดที่คลุมเครือ ไม่ว่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

คุณสมบัติของฟังก์ชั่นการเป็นสมาชิก

ตอนนี้เราจะพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของฟังก์ชั่นการเป็นสมาชิก

แกน

สำหรับชุดที่คลุมเครือใด ๆ $ \ widetilde {A} $ แกนหลักของฟังก์ชันการเป็นสมาชิกคือขอบเขตของจักรวาลที่กำหนดลักษณะตามการเป็นสมาชิกแบบเต็มในชุด ดังนั้นแกนกลางจึงประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมด $ y $ ของจักรวาลแห่งข้อมูลเช่นนั้น

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

สนับสนุน

สำหรับชุดที่คลุมเครือ $ \ widetilde {A} $ การสนับสนุนฟังก์ชันการเป็นสมาชิกคือขอบเขตของจักรวาลที่กำหนดลักษณะโดยการเป็นสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ในชุดนั้น ดังนั้นแกนกลางจึงประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมด $ y $ ของจักรวาลของข้อมูลเช่นนั้น

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

เขตแดน

สำหรับชุดที่คลุมเครือ $ \ widetilde {A} $ ขอบเขตของฟังก์ชันการเป็นสมาชิกคือขอบเขตของจักรวาลที่มีลักษณะเป็นสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ไม่สมบูรณ์ในชุด ดังนั้นแกนกลางจึงประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมด $ y $ ของจักรวาลแห่งข้อมูลเช่นนั้น

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

การทำให้เป็นฝอย

อาจถูกกำหนดให้เป็นขั้นตอนการเปลี่ยนชุดกรอบเป็นชุดฟัซซี่หรือชุดฟัซซี่ให้เป็นชุดฟัซซีเยร์ โดยทั่วไปการดำเนินการนี้จะแปลค่าอินพุตที่คมชัดให้เป็นตัวแปรทางภาษา

ต่อไปนี้เป็นสองวิธีที่สำคัญในการทำให้เป็นฝอย -

สนับสนุนวิธีการ Fuzzification (s-fuzzification)

ในวิธีนี้ชุดฟัซซิไฟด์สามารถแสดงได้ด้วยความช่วยเหลือของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

ที่นี่ชุดฟัซซี่ $ Q \ left (x_i \ right) $ เรียกว่าเป็นเคอร์เนลของฟัซซิฟิเคชัน วิธีนี้ใช้งานได้โดยทำให้ $ \ mu _i $ คงที่และ $ x_i $ ถูกเปลี่ยนเป็นชุดที่คลุมเครือ $ Q \ left (x_i \ right) $

เกรด Fuzzification (g-fuzzification) วิธี

ค่อนข้างคล้ายกับวิธีการข้างต้น แต่ข้อแตกต่างที่สำคัญคือการคงไว้ $ x_i $ คงที่และ $ \ mu _i $ แสดงเป็นชุดคลุมเครือ

การทำให้มึนงง

อาจถูกกำหนดให้เป็นขั้นตอนการลดชุดฟัซซี่ลงในเซ็ตที่คมชัดหรือเพื่อเปลี่ยนสมาชิกฟัซซี่ให้เป็นสมาชิกที่คมชัด

เราได้ศึกษาแล้วว่ากระบวนการฟัซซิฟิเคชันเกี่ยวข้องกับการแปลงจากปริมาณที่คมชัดเป็นปริมาณฟัซซี่ ในการใช้งานทางวิศวกรรมหลายอย่างจำเป็นต้องทำให้ผลลัพธ์เป็นสิ่งที่ผิดปกติหรือ“ ผลลัพธ์ที่ไม่ชัดเจน” เพื่อที่จะต้องแปลงเป็นผลลัพธ์ที่คมชัด ในทางคณิตศาสตร์กระบวนการ Defuzzification เรียกอีกอย่างว่า "ปัดเศษออก"

วิธีการต่างๆในการละลายน้ำแข็งมีคำอธิบายไว้ด้านล่าง -

วิธี Max-Membership

วิธีนี้ จำกัด เฉพาะฟังก์ชันเอาต์พุตสูงสุดและเรียกอีกอย่างว่าวิธีความสูง ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ดังนี้ -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$

ที่นี่ $ x ^ * $ คือเอาต์พุตที่ไม่ถูกทำลาย

วิธี Centroid

วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่าจุดศูนย์กลางของพื้นที่หรือวิธีจุดศูนย์ถ่วง ในทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ defuzzified $ x ^ * $ จะแสดงเป็น -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right ) .dx} $$

วิธีถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

ในวิธีนี้ฟังก์ชันการเป็นสมาชิกแต่ละฟังก์ชันจะถ่วงน้ำหนักด้วยมูลค่าสมาชิกสูงสุด ในทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ defuzzified $ x ^ * $ จะแสดงเป็น -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

การเป็นสมาชิก Mean-Max

วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่าตรงกลางของแมกซิม่า ในทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ defuzzified $ x ^ * $ จะแสดงเป็น -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$