Fuzzy Logic - Fuzzy Refresher แบบดั้งเดิม
ลอจิกซึ่งเดิมเป็นเพียงการศึกษาสิ่งที่แยกแยะความแตกต่างของการโต้แย้งที่เป็นเสียงจากการโต้แย้งที่ไม่น่าฟังตอนนี้ได้พัฒนาไปสู่ระบบที่ทรงพลังและเข้มงวดซึ่งสามารถค้นพบข้อความที่เป็นจริงได้เนื่องจากข้อความอื่น ๆ ที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็นจริง
ตรรกะเพรดิเคต
ตรรกะนี้เกี่ยวข้องกับเพรดิเคตซึ่งเป็นประพจน์ที่มีตัวแปร
เพรดิเคตคือนิพจน์ของตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่กำหนดไว้ในโดเมนเฉพาะบางโดเมน เพรดิเคตที่มีตัวแปรสามารถสร้างเป็นประพจน์ได้โดยการกำหนดค่าให้กับตัวแปรหรือโดยการหาจำนวนตัวแปร
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนของเพรดิเคต -
- ให้ E (x, y) แสดงว่า "x = y"
- ให้ X (a, b, c) แสดงว่า "a + b + c = 0"
- ให้ M (x, y) แสดงว่า "x แต่งงานกับ y"
ตรรกะเชิงเสนอ
ประพจน์คือชุดของข้อความประกาศที่มีทั้งค่าความจริง "จริง" หรือค่าความจริง "เท็จ" ประพจน์ประกอบด้วยตัวแปรเชิงประพจน์และคอนเนคเตอร์ตัวแปรเชิงประพจน์จะเว้าด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ (A, B, ฯลฯ ) Connectives เชื่อมต่อตัวแปรเชิงประพจน์
ตัวอย่างบางส่วนของข้อเสนอมีให้ด้านล่าง -
- "มนุษย์เป็นมนุษย์" จะส่งกลับค่าความจริง "TRUE"
- "12 + 9 = 3 - 2" จะส่งกลับค่าความจริง "FALSE"
ต่อไปนี้ไม่ใช่ข้อเสนอ -
"A is less than 2" - เป็นเพราะถ้าเราไม่ให้ค่าเฉพาะของ A เราไม่สามารถบอกได้ว่าข้อความนั้นเป็นจริงหรือเท็จ
Connectives
ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์เราใช้การเชื่อมต่อห้าประการต่อไปนี้ -
- หรือ (∨∨)
- และ (∧∧)
- การปฏิเสธ / ไม่ (¬¬)
- นัย / ถ้า - แล้ว (→→)
- ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ (⇔⇔)
หรือ (∨∨)
การดำเนินการ OR ของสองประพจน์ A และ B (เขียนเป็นA∨BA∨B) เป็นจริงถ้าตัวแปรประพจน์ A หรือ B เป็นจริงอย่างน้อยที่สุด
ตารางความจริงมีดังนี้ -
| ก | ข | ก∨ข |
|---|---|---|
| จริง | จริง | จริง |
| จริง | เท็จ | จริง |
| เท็จ | จริง | จริง |
| เท็จ | เท็จ | เท็จ |
และ (∧∧)
การดำเนินการ AND ของสองประพจน์ A และ B (เขียนเป็นA∧BA∧B) เป็นจริงถ้าทั้งตัวแปรประพจน์ A และ B เป็นจริง
ตารางความจริงมีดังนี้ -
| ก | ข | ก∧ข |
|---|---|---|
| จริง | จริง | จริง |
| จริง | เท็จ | เท็จ |
| เท็จ | จริง | เท็จ |
| เท็จ | เท็จ | เท็จ |
การปฏิเสธ (¬¬)
การปฏิเสธของประพจน์ A (เขียนเป็น¬A¬A) เป็นเท็จเมื่อ A เป็นจริงและเป็นจริงเมื่อ A เป็นเท็จ
ตารางความจริงมีดังนี้ -
| ก | ¬A |
|---|---|
| จริง | เท็จ |
| เท็จ | จริง |
นัย / ถ้า - แล้ว (→→)
ความหมาย A → BA → B คือโจทย์“ ถ้า A แล้ว B” เป็นเท็จถ้า A เป็นจริงและ B เป็นเท็จ กรณีที่เหลือเป็นเรื่องจริง
ตารางความจริงมีดังนี้ -
| ก | ข | ก→ข |
|---|---|---|
| จริง | จริง | จริง |
| จริง | เท็จ | เท็จ |
| เท็จ | จริง | จริง |
| เท็จ | เท็จ | จริง |
ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ (⇔⇔)
A⇔BA⇔Bเป็นการเชื่อมต่อเชิงตรรกะแบบสองเงื่อนไขซึ่งเป็นจริงเมื่อ p และ q เหมือนกันกล่าวคือทั้งสองเป็นเท็จหรือทั้งสองอย่างเป็นจริง
ตารางความจริงมีดังนี้ -
| ก | ข | A⇔B |
|---|---|---|
| จริง | จริง | จริง |
| จริง | เท็จ | เท็จ |
| เท็จ | จริง | เท็จ |
| เท็จ | เท็จ | จริง |
สูตรที่สร้างขึ้นอย่างดี
Well Formed Formula (wff) เป็นเพรดิเคตที่ถือหนึ่งในสิ่งต่อไปนี้ -
- ค่าคงที่เชิงประพจน์และตัวแปรเชิงประพจน์ทั้งหมดเป็น wffs
- ถ้า x เป็นตัวแปรและ Y คือ wff ∀xYและ∃xYก็เป็น wff เช่นกัน
- ค่าความจริงและค่าเท็จคือ wffs
- สูตรอะตอมแต่ละสูตรคือ wff
- การเชื่อมต่อทั้งหมดที่เชื่อมต่อ wffs เป็น wffs
Quantifiers
ตัวแปรของเพรดิเคตถูกหาค่าโดยตัวระบุปริมาณ มีสองประเภทของตัวระบุในตรรกะเพรดิเคต -
- Universal Quantifier
- ตัวบ่งชี้ที่มีอยู่
Universal Quantifier
Universal quantifier ระบุว่าคำสั่งภายในขอบเขตเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรเฉพาะ มันแสดงด้วยสัญลักษณ์∀
∀xP(x) จะอ่านเป็นค่า x ทุกค่า P (x) เป็นจริง
Example- "มนุษย์เป็นมนุษย์" สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบประพจน์ proposxP (x) ในที่นี้ P (x) คือเพรดิเคตที่แสดงว่า x เป็นมนุษย์และจักรวาลของวาทกรรมคือผู้ชายทั้งหมด
ตัวบ่งชี้ที่มีอยู่
Existential quantifier ระบุว่าข้อความภายในขอบเขตเป็นจริงสำหรับค่าบางค่าของตัวแปรเฉพาะ มันแสดงด้วยสัญลักษณ์∃
∃xP(x) สำหรับค่า x บางค่าถูกอ่านว่า P (x) เป็นจริง
Example - "บางคนไม่ซื่อสัตย์" สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบประพจน์∃x P (x) โดยที่ P (x) คือเพรดิเคตที่แสดงว่า x ไม่ซื่อสัตย์และจักรวาลของวาทกรรมคือบางคน
Quantifier ที่ซ้อนกัน
ถ้าเราใช้ตัวระบุปริมาณที่ปรากฏภายในขอบเขตของตัวระบุตัวระบุอื่นจะเรียกว่าตัวระบุจำนวนที่ซ้อนกัน
Example
- ∀a∃bP (x, y) โดยที่ P (a, b) หมายถึง a + b = 0
- ∀a∀b∀cP (a, b, c) โดยที่ P (a, b) หมายถึง a + (b + c) = (a + b) + c
Note - ∀a∃bP (x, y) ≠∃a∀bP (x, y)