दूसरे क्रम प्रणाली की प्रतिक्रिया
इस अध्याय में, हम दूसरी क्रम प्रणाली की समय प्रतिक्रिया पर चर्चा करते हैं। बंद लूप नियंत्रण प्रणाली के निम्नलिखित ब्लॉक आरेख पर विचार करें। यहाँ, एक ओपन लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ एक एकता नकारात्मक प्रतिक्रिया के साथ जुड़ा हुआ है।
हम जानते हैं कि बंद लूप नियंत्रण प्रणाली के हस्तांतरण समारोह में एकता नकारात्मक प्रतिक्रिया है
$$ \ frac {सी (रों)} {आर (s)} = \ frac {जी (रों)} {1 + G (s)} $$
उपर्युक्त समीकरण में $ G, $ G (s) = \ frac {\ _ omega ^ 2_n} {s (2 + डेल्टा \ omega_n)}।
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ _ omega ^ 2_n} {s (2 + डेल्टा \ omega_n)} {दाईं ओर}} {1+ \ बाएँ (\ frac {\ _ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ _ omega _n ^ 2} {s ^ 2} 2 \ "डेल्टा \ _ ओमेगा _ns + \ _- ओमेगा _n ^ 2} $$
'S' की शक्ति हर शब्द में दो है। इसलिए, उपरोक्त स्थानांतरण फ़ंक्शन दूसरे क्रम का है और सिस्टम को कहा जाता हैsecond order system।
विशेषता समीकरण है -
$ $ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $ $
चारित्रिक समीकरण की जड़ें हैं -
$ $ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac-2- (\ डेल्टा) \ _ ओमेगा _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} 5%
$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1} $ $
- दो मूल काल्पनिक हैं जब 0 = 0।
- दो जड़ें वास्तविक और बराबर होती हैं जब and = 1।
- दो जड़ें वास्तविक हैं लेकिन when> 1 के बराबर नहीं हैं।
- दो जड़ें जटिल संयुग्म हैं जब 0 <1 <1।
हम $ C, को $ समीकरण के रूप में लिख सकते हैं,
$ $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $ $
कहाँ पे,
C(s) आउटपुट सिग्नल का लैप्लस रूपांतरण है, c (t)
R(s) इनपुट सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण है, आर (टी)
ωn प्राकृतिक आवृत्ति है
δ भिगोना अनुपात है।
टाइम डोमेन में दूसरे ऑर्डर सिस्टम की प्रतिक्रिया (आउटपुट) प्राप्त करने के लिए इन चरणों का पालन करें।
इनपुट सिग्नल के लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन को लें, $ r (t) $।
समीकरण पर विचार करें, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) आर (s) $
उपर्युक्त समीकरण में $ R (s) $ का मूल्य।
यदि आवश्यक हो तो $ C (s) $ के आंशिक अंश करें।
व्युत्क्रम लाप्लास को $ C (s) $ में लागू करें।
दूसरे आदेश प्रणाली का चरण प्रतिक्रिया
दूसरे क्रम प्रणाली के इनपुट के रूप में इकाई चरण संकेत पर विचार करें।
इकाई चरण सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण है,
$$ आर (रों) = \ frac {1} {s} $$
हम दूसरे क्रम बंद लूप नियंत्रण प्रणाली के हस्तांतरण समारोह को जानते हैं,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ _ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2}}
केस 1: 1 = 0
स्थानान्तरण समारोह में स्थानापन्न, $ \ डेल्टा = 0 $।
$$ \ frac {सी (रों)} {आर (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {रों ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ _ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ _ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $ $
उपर्युक्त समीकरण में स्थानापन्न, $ R (s) = \ frac {1} {s} $।
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ _ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = frac {\ _ omega_n ^ 2} {रों (रों ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$
व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को दोनों तरफ लागू करें।
$ $ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$
तो, जब $ / डेल्टा = 0 $ दूसरे क्रम प्रणाली की इकाई चरण प्रतिक्रिया होती है, तो यह निरंतर आयाम और आवृत्ति के साथ एक निरंतर समय संकेत होगा।
केस 2: 2 = 1
स्थानान्तरण समारोह में स्थानापन्न, $ / डेल्टा = 1 $।
$$ \ frac {सी (रों)} {आर (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {रों ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ _ omega_n ^ 2} {{s + \ _ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $ $
उपर्युक्त समीकरण में स्थानापन्न, $ R (s) = \ frac {1} {s} $।
$ $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ _ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = frac {\ _ omega_n ^ 2} {रों (रों + \ omega_n) ^ 2} $$
$ C (s) $ के आंशिक अंशों को करें।
$$ सी (रों) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {रों (रों + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {बी} {s + \ omega_n} + \ frac {सी } {(रों + \ omega_n) ^ 2} $$
सरलीकृत करने के बाद, आपको क्रमशः $ 1, \: -1 \: और \: - \ _ ओमेगा _n $ के रूप में ए, बी और सी के मूल्य मिलेंगे। $ C (s) $ के उपर्युक्त आंशिक विस्तार में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।
$$ सी (रों) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(रों + \ omega_n) ^ 2} $$
व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को दोनों तरफ लागू करें।
$ $ c (t) = (१-ई ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $ $
तो, दूसरे क्रम प्रणाली की इकाई चरण प्रतिक्रिया स्थिर अवस्था में चरण इनपुट तक पहुंचने का प्रयास करेगी।
केस 3: 0 <δ <1
हम स्थानांतरण फ़ंक्शन के हर शब्द को निम्नानुसार संशोधित कर सकते हैं -
$ $ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ n ओमेगा_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n। ^ 2 - (\ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 $$
$$ = (रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2) $$
स्थानांतरण समारोह बन जाता है,
$$ \ frac {सी (रों)} {आर (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2)} $ $
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ _ omega_n ^ 2}} (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delome ^ 2)} \ right) R (s) ) $$
उपर्युक्त समीकरण में स्थानापन्न, $ R (s) = \ frac {1} {s} $।
$ $ C (s) = \ left (\ frac {\ _ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ _ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2) \ right) \ left (\ frac) {1} {s} \ right) = \ frac {\ _ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ _ omega_n ^ 2 (1- \ delome ^ 2) \ सही)} $ $
$ C (s) $ के आंशिक अंशों को करें।
$ $ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2 (दाएं) = सही)} = \ frac { A} {s} + \ frac {बी एस + C} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2)} $$
सरल बनाने के बाद, आपको क्रमशः $ 1, \: -1 \: और \: −2 \ delta \ omega _n $ के रूप में ए, बी और सी के मूल्य मिलेंगे। इन मानों को C (s) के आंशिक आंशिक विस्तार में प्रतिस्थापित करें।
$$ सी (रों) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ डेल्टा \ omega_n} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2) } $$
$$ सी (रों) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ डेल्टा \ omega_n} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2)} - \ frac {\ डेल्टा \ omega_n} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ डेल्टा ^ 2)} $$
$ सी (रों) = \ frac {1} {s} - \ frac {(रों + \ डेल्टा \ omega_n)} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ डेल्टा} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {} (s + delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $
उपर्युक्त समीकरण में $ $, omega_n \ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2} $ के रूप में $ \ omega_d।
$$ सी (रों) = \ frac {1} {s} - \ frac {(रों + \ डेल्टा \ omega_n)} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ डेल्टा} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {} (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right = $ $ $
व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को दोनों तरफ लागू करें।
$ $ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ डेल्टा = 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $ +
$ $ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ डेल्टा) - 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $ $
यदि $ \ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2} = \ sin (\ थीटा) $ है, तो '(' कॉस (be) होगा। उपर्युक्त समीकरण में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।
$ $ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2}}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ ओमेगा_dt) + \ cos ((theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $ $
$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ थीटा) \ राइट) यू (टी) $ $
तो, दूसरे क्रम प्रणाली की इकाई चरण प्रतिक्रिया में दोलन (घटते हुए आयाम) होते हैं, जब 'and' शून्य और एक के बीच स्थित होता है।
केस 4: δ> 1
हम स्थानांतरण फ़ंक्शन के हर शब्द को निम्नानुसार संशोधित कर सकते हैं -
$ $ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ n ओमेगा_n) ^ 2 \ दाएँ \} + \ omega_n। ^ 2 - (\ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 $$
$ $ = \ बाएँ (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ बाएँ (\ डेल्टा ^ 2-1 \ दाएँ) $ $
स्थानांतरण समारोह बन जाता है,
$$ \ frac {सी (रों)} {आर (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(रों + \ डेल्टा \ omega_n) ^ 2 \ omega_n ^ 2 (\ डेल्टा ^ 2-1)} $ $
$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {{s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 1)} \ right) R (s) ) $$
उपर्युक्त समीकरण में स्थानापन्न, $ R (s) = \ frac {1} {s} $।
$ C (s) = \ left (\ frac {\ _ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1} ^ 2} \ सही) \ बाएं ((frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ _ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 1}) (s + \ delta \ omega_n- \) omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1})} $
$ C (s) $ के आंशिक अंशों को करें।
$$ सी (रों) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {रों (रों + \ डेल्टा \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1}) (रों + \ डेल्टा \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1})} $$
$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {बी} {s + \ डेल्टा \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1}} + \ frac {सी} {s + \ डेल्टा \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1}} $$
सरल करने के बाद, आपको A, B और C के मान 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1}) मिलेंगे )} $ और $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ क्रमशः। $ C (s) $ के आंशिक आंशिक विस्तार से ऊपर इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।
$$ सी (रों) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ डेल्टा + \ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1}) (\ sqrt {\ डेल्टा ^ 2-1})} \ बायाँ (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta) ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}}} \ right) $ $
व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को दोनों तरफ लागू करें।
$ c (t) = \ left (1+ \ बाएँ (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt / \ delta ^ 2-1) ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right (u) (t) $
जब से यह खत्म हो गया है, जब when> 1 स्थिर अवस्था में कदम इनपुट तक कभी नहीं पहुंचेगा तो दूसरी क्रम प्रणाली की इकाई चरण प्रतिक्रिया।
दूसरे आदेश प्रणाली का आवेग प्रतिक्रिया
impulse response दूसरे आदेश प्रणाली को इन दो तरीकों में से किसी एक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
$ R के बजाय $ R (s) $ 1 के मूल्य पर विचार करके चरण प्रतिक्रिया प्राप्त करते समय शामिल प्रक्रिया का पालन करें {1} {s} $।
चरण प्रतिक्रिया का विभेदन करें।
निम्न तालिका डंपिंग अनुपात के 4 मामलों के लिए दूसरे आदेश प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया दिखाती है।
भिगोना अनुपात की स्थिति | टी। 0 के लिए आवेग प्रतिक्रिया |
---|---|
δ = 0 |
$ \ Omega_n \ पाप (\ omega_nt) $ |
δ = 1 |
$ \ Omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $ |
० <1 <१ |
$ \ left (\ frac {\ _ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ डेल्टा ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $ |
δ> १ |
$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n's sqrt {\ delta ^ 2-1) }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $ |