Logika rozmyta - klasyczna teoria mnogości

ZA setto nieuporządkowany zbiór różnych elementów. Można go napisać jawnie, wymieniając jego elementy za pomocą nawiasu ustalającego. Zmiana kolejności elementów lub powtórzenie dowolnego elementu zestawu nie powoduje żadnych zmian w zestawie.

Przykład

Zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych.
Zbiór wszystkich planet Układu Słonecznego.
Zestawienie wszystkich stanów w Indiach.
Zbiór wszystkich małych liter alfabetu.

Matematyczna reprezentacja zbioru

Zestawy można przedstawić na dwa sposoby -

Lista lub forma tabelaryczna

W tej formie zestaw jest reprezentowany przez wylistowanie wszystkich elementów, które go tworzą. Elementy są ujęte w nawiasy i oddzielone przecinkami.

Poniżej znajdują się przykłady zestawu w Spisie lub Formie Tabelarycznej -

Zestaw samogłosek w alfabecie angielskim, A = {a, e, i, o, u}
Zbiór liczb nieparzystych mniejszych niż 10, B = {1,3,5,7,9}

Ustaw notację konstruktora

W tej formie zestaw jest definiowany przez określenie właściwości, którą elementy zestawu mają wspólną. Zbiór jest opisany jako A = {x: p (x)}

Example 1 - Zbiór {a, e, i, o, u} jest zapisywany jako

A = {x: x to samogłoska w alfabecie angielskim}

Example 2 - Zbiór {1,3,5,7,9} jest zapisywany jako

B = {x: 1 ≤ x <10 i (x% 2) ≠ 0}

Jeśli element x należy do dowolnego zbioru S, to jest oznaczany przez x∈S, a jeśli element y nie należy do zbioru S, to jest oznaczany przez y∉S.

Example - Jeśli S = {1,1,2,1,7,2}, 1 ∈ S, ale 1,5 ∉ S

Liczność zbioru

Liczność zbioru S, oznaczona przez | S || S |, to liczba elementów zbioru. Liczba jest również nazywana liczbą kardynalną. Jeśli zbiór ma nieskończoną liczbę elementów, jego liczność wynosi ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1, 2, 3, 4, 5,…} | = ∞

Jeśli istnieją dwa zbiory X i Y, | X | = | Y | oznacza dwa zbiory X i Y o tej samej liczności. Występuje, gdy liczba elementów w X jest dokładnie równa liczbie elementów w Y. W tym przypadku istnieje funkcja bijektywna „f” od X do Y.

| X | ≤ | Y | oznacza, że liczność zbioru X jest mniejsza lub równa liczności zbioru Y. Występuje, gdy liczba elementów w X jest mniejsza lub równa liczbie Y. Tutaj istnieje funkcja iniekcyjna „f” od X do Y.

| X | <| Y | oznacza, że liczność zbioru X jest mniejsza niż liczność zbioru Y. Występuje, gdy liczba elementów w X jest mniejsza niż liczba w Y. Tutaj funkcja „f” od X do Y jest funkcją iniekcyjną, ale nie bijektywną.

Jeśli | X | ≤ | Y | i | X | ≤ | Y | wtedy | X | = | Y | . Zbiory X i Y są powszechnie określane jakoequivalent sets.

Rodzaje zestawów

Zestawy można podzielić na wiele typów; niektóre z nich są skończone, nieskończone, podzbiór, uniwersalny, właściwy, pojedynczy, itp.

Zbiór skończony

Zbiór zawierający określoną liczbę elementów nazywany jest zbiorem skończonym.

Example - S = {x | x ∈ N i 70> x> 50}

Nieskończony zestaw

Zbiór, który zawiera nieskończoną liczbę elementów, nazywamy zbiorem nieskończonym.

Example - S = {x | x ∈ N i x> 10}

Podzbiór

Zbiór X jest podzbiorem zbioru Y (zapisanym jako X ⊆ Y), jeśli każdy element X jest elementem zbioru Y.

Example 1- Niech, X = {1,2,3,4,5,6} i Y = {1,2}. Tutaj zbiór Y jest podzbiorem zbioru X, ponieważ wszystkie elementy zbioru Y są w zbiorze X. Zatem możemy zapisać Y⊆X.

Example 2- Niech, X = {1,2,3} i Y = {1,2,3}. Tutaj zbiór Y jest podzbiorem (nie właściwym podzbiorem) zbioru X, ponieważ wszystkie elementy zbioru Y znajdują się w zbiorze X. Stąd możemy zapisać Y⊆X.

Właściwy podzbiór

Termin „właściwy podzbiór” można zdefiniować jako „podzbiór, ale nie równy”. Zbiór X jest właściwym podzbiorem zbioru Y (zapisanym jako X ⊂ Y), jeśli każdy element X jest elementem zbioru Y i | X | <| Y |.

Example- Niech, X = {1,2,3,4,5,6} i Y = {1,2}. Tutaj zestaw Y ⊂ X, ponieważ wszystkie elementy w Y są również zawarte w X, a X ma co najmniej jeden element, który jest większy niż zbiór Y.

Uniwersalny zestaw

Jest to zbiór wszystkich elementów w określonym kontekście lub aplikacji. Wszystkie zbiory w tym kontekście lub zastosowaniu są zasadniczo podzbiorami tego uniwersalnego zbioru. Zestawy uniwersalne są reprezentowane jako U.

Example- Możemy zdefiniować U jako zbiór wszystkich zwierząt na ziemi. W tym przypadku zbiór wszystkich ssaków jest podzbiorem U, zbiór wszystkich ryb jest podzbiorem U, zbiór wszystkich owadów jest podzbiorem U i tak dalej.

Pusty zestaw lub pusty zestaw

Pusty zestaw nie zawiera żadnych elementów. Jest oznaczony przez Φ. Ponieważ liczba elementów w pustym zbiorze jest skończona, pusty zbiór jest zbiorem skończonym. Liczność zestawu pustego lub zestawu zerowego wynosi zero.

Example - S = {x | x ∈ N i 7 <x <8} = Φ

Zestaw singletonów lub zestaw jednostek

Zestaw Singleton lub zestaw jednostek zawiera tylko jeden element. Zbiór singletonów jest oznaczony przez {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Równy zestaw

Jeśli dwa zestawy zawierają te same elementy, mówi się, że są równe.

Example - Jeśli A = {1,2,6} i B = {6,1,2}, to są równe, ponieważ każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, a każdy element zbioru B jest elementem zbioru A.

Równoważny zestaw

Jeśli liczności dwóch zbiorów są takie same, nazywane są zbiorami równoważnymi.

Example- Jeśli A = {1,2,6} i B = {16,17,22}, są one równoważne, ponieważ liczność A jest równa liczności B. tj. | A | = | B | = 3

Nakładający się zestaw

Dwa zestawy, które mają co najmniej jeden wspólny element, nazywane są zestawami nakładającymi się. W przypadku nakładania się zestawów -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Niech, A = {1,2,6} i B = {6,12,42}. Istnieje wspólny element „6”, stąd te zbiory są zbiorami nakładającymi się.

Zestaw rozłączny

Dwa zbiory A i B nazywane są zbiorami rozłącznymi, jeśli nie mają ani jednego wspólnego elementu. Dlatego rozłączne zbiory mają następujące właściwości -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Niech, A = {1,2,6} i B = {7,9,14}, nie ma ani jednego wspólnego elementu, stąd te zbiory są zbiorami nakładającymi się.

Operacje na zbiorach klasycznych

Operacje na zbiorach obejmują sumę zbioru, przecięcie zbioru, różnicę zbioru, dopełnienie zbioru i iloczyn kartezjański.

Unia

Związek zbiorów A i B (oznaczony jako A ∪ BA ∪ B) jest zbiorem elementów znajdujących się w A, w B lub w A i B. Stąd A ∪ B = {x | x ∈ A LUB x ∈ B}.

Example - Jeśli A = {10,11,12,13} i B = {13,14,15}, to A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Wspólny element występuje tylko raz.

Skrzyżowanie

Punkt przecięcia zbiorów A i B (oznaczonych jako A is B) to zbiór elementów znajdujących się zarówno w A, jak i B. Stąd A H B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Różnica / Względne dopełnienie

Różnica zbiorów A i B (oznaczona jako A – B) jest zbiorem elementów, które są tylko w A, ale nie w B. Stąd A - B = {x | x AND A AND x ∉ B}.

Example- Jeśli A = {10,11,12,13} i B = {13,14,15}, to (A - B) = {10,11,12} i (B - A) = {14,15} . Tutaj widzimy (A - B) ≠ (B - A)

Uzupełnienie zestawu

Dopełnieniem zbioru A (oznaczonego A ′) jest zbiór elementów, które nie znajdują się w zbiorze A. Stąd A ′ = {x | x ∉ A}.

Dokładniej, A ′ = (U − A), gdzie U jest zbiorem uniwersalnym zawierającym wszystkie obiekty.

Example - Jeśli A = {x | x należy do zbioru dodawanych liczb całkowitych}, to A ′ = {y | y nie należy do zbioru nieparzystych liczb całkowitych}

Iloczyn kartezjański / Iloczyn poprzeczny

Iloczyn kartezjański n liczby zbiorów A1, A2,… An oznaczony jako A1 × A2 ... × An można zdefiniować jako wszystkie możliwe uporządkowane pary (x1, x2,… xn), gdzie x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Jeśli weźmiemy dwa zbiory A = {a, b} i B = {1,2},

Iloczyn kartezjański A i B jest zapisywany jako - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

A iloczyn kartezjański B i A jest zapisywany jako - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}