Fuzzy Logic - Tradycyjne odświeżanie rozmyte

Logika, która pierwotnie była tylko badaniem tego, co odróżnia rozsądne argumenty od nierozsądnych, obecnie rozwinęła się w potężny i rygorystyczny system, za pomocą którego można odkryć prawdziwe stwierdzenia, biorąc pod uwagę inne stwierdzenia, o których już wiadomo, że są prawdziwe.

Logika predykatów

Ta logika dotyczy predykatów, które są zdaniami zawierającymi zmienne.

Predykat to wyrażenie jednej lub więcej zmiennych zdefiniowanych w określonej dziedzinie. Predykat ze zmiennymi można złożyć jako propozycję, przypisując wartość zmiennej lub określając ją ilościowo.

Oto kilka przykładów predykatów -

  • Niech E (x, y) oznacza „x = y”
  • Niech X (a, b, c) oznacza „a + b + c = 0”
  • Niech M (x, y) oznacza „x jest żonaty z y”

Logika zdań

Zdanie to zbiór zdań deklaratywnych, które mają albo wartość prawdziwości „prawda”, albo wartość prawdy „fałsz”. Zdanie składa się ze zmiennych zdaniowych i łączników. Zmienne zdaniowe są oznaczone dużymi literami (A, B itd.). Łączniki łączą zmienne zdaniowe.

Poniżej podano kilka przykładów Twierdzeń -

  • „Człowiek jest śmiertelny”, zwraca wartość prawdy „PRAWDA”
  • „12 + 9 = 3 - 2”, zwraca wartość prawdy „FALSE”

Poniższe nie jest propozycją -

  • "A is less than 2" - To dlatego, że jeśli nie podamy określonej wartości A, nie możemy powiedzieć, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Połączenia

W logice zdań używamy następujących pięciu połączeń -

  • LUB (∨∨)
  • AND (∧∧)
  • Negacja / NIE (¬¬)
  • Implikacja / jeśli-to (→ ↑)
  • Jeśli i tylko wtedy, gdy (⇔⇔)

LUB (∨∨)

Operacja OR dwóch zdań A i B (zapisanych jako A∨BA∨B) jest prawdą, jeśli przynajmniej którakolwiek ze zmiennych zdań A lub B jest prawdziwa.

Tabela prawdy jest następująca -

ZA b A ∨ B
Prawdziwe Prawdziwe Prawdziwe
Prawdziwe Fałszywy Prawdziwe
Fałszywy Prawdziwe Prawdziwe
Fałszywy Fałszywy Fałszywy

AND (∧∧)

Operacja AND dwóch zdań A i B (zapisanych jako A∧BA∧B) jest prawdą, jeśli obie zmienne zdaniowe A i B są prawdziwe.

Tabela prawdy jest następująca -

ZA b A ∧ B
Prawdziwe Prawdziwe Prawdziwe
Prawdziwe Fałszywy Fałszywy
Fałszywy Prawdziwe Fałszywy
Fałszywy Fałszywy Fałszywy

Negacja (¬¬)

Negacja zdania A (zapisanego jako ¬A¬A) jest fałszywa, gdy A jest prawdą, i jest prawdą, gdy A jest fałszywe.

Tabela prawdy jest następująca -

ZA ¬A
Prawdziwe Fałszywy
Fałszywy Prawdziwe

Implikacja / jeśli-to (→ ↑)

Implikacją A → BA → B jest zdanie „jeśli A, to B”. Jest fałszem, jeśli A jest prawdą, a B jest fałszem. Pozostałe przypadki są prawdziwe.

Tabela prawdy jest następująca -

ZA b A → B
Prawdziwe Prawdziwe Prawdziwe
Prawdziwe Fałszywy Fałszywy
Fałszywy Prawdziwe Prawdziwe
Fałszywy Fałszywy Prawdziwe

Jeśli i tylko wtedy, gdy (⇔⇔)

A⇔BA⇔B jest dwuwarunkowym łącznikiem logicznym, który jest prawdziwy, gdy p i q są takie same, tj. Oba są fałszywe lub oba są prawdziwe.

Tabela prawdy jest następująca -

ZA b A⇔B
Prawdziwe Prawdziwe Prawdziwe
Prawdziwe Fałszywy Fałszywy
Fałszywy Prawdziwe Fałszywy
Fałszywy Fałszywy Prawdziwe

Dobrze uformowana formuła

Dobrze uformowana formuła (wff) jest predykatem zawierającym jeden z następujących elementów -

  • Wszystkie stałe zdaniowe i zmienne zdaniowe są wffs.
  • Jeśli x jest zmienną, a Y jest wff, ∀xY i ∃xY również są wff.
  • Wartość prawdy i wartości fałszywe to wffs.
  • Każda formuła atomowa to wff.
  • Wszystkie łączniki łączące wffs są wffs.

Kwantyfikatory

Zmienna predykatów jest określana ilościowo za pomocą kwantyfikatorów. Istnieją dwa rodzaje kwantyfikatorów w logice predykatów -

  • Uniwersalny kwantyfikator
  • Kwantyfikator egzystencjalny

Uniwersalny kwantyfikator

Uniwersalny kwantyfikator stwierdza, że ​​instrukcje w jego zakresie są prawdziwe dla każdej wartości określonej zmiennej. Jest oznaczony symbolem ∀.

∀xP(x) czyta się jak dla każdej wartości x, P (x) jest prawdziwe.

Example- „Człowiek jest śmiertelny” można przekształcić w formę zdań ∀xP (x). Tutaj P (x) jest orzeczeniem, które oznacza, że ​​x jest śmiertelne, a wszechświatem dyskursu są wszyscy ludzie.

Kwantyfikator egzystencjalny

Kwantyfikator egzystencjalny stwierdza, że ​​instrukcje w jego zakresie są prawdziwe dla niektórych wartości określonej zmiennej. Jest oznaczony symbolem ∃.

∃xP(x) dla niektórych wartości x odczytuje się jako, P (x) jest prawdziwe.

Example - „Niektórzy ludzie są nieuczciwi” można przekształcić w formę zdaniową ∃x P (x), gdzie P (x) jest orzeczeniem oznaczającym, że x jest nieuczciwy, a wszechświat dyskursu to niektórzy ludzie.

Zagnieżdżone kwantyfikatory

Jeśli użyjemy kwantyfikatora, który pojawia się w zakresie innego kwantyfikatora, nazywamy go kwantyfikatorem zagnieżdżonym.

Example

  • ∀ a∃bP (x, y) gdzie P (a, b) oznacza a + b = 0
  • ∀ a∀b∀cP (a, b, c) gdzie P (a, b) oznacza a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)