Fuzzy Logic - Tradycyjne odświeżanie rozmyte
Logika, która pierwotnie była tylko badaniem tego, co odróżnia rozsądne argumenty od nierozsądnych, obecnie rozwinęła się w potężny i rygorystyczny system, za pomocą którego można odkryć prawdziwe stwierdzenia, biorąc pod uwagę inne stwierdzenia, o których już wiadomo, że są prawdziwe.
Logika predykatów
Ta logika dotyczy predykatów, które są zdaniami zawierającymi zmienne.
Predykat to wyrażenie jednej lub więcej zmiennych zdefiniowanych w określonej dziedzinie. Predykat ze zmiennymi można złożyć jako propozycję, przypisując wartość zmiennej lub określając ją ilościowo.
Oto kilka przykładów predykatów -
- Niech E (x, y) oznacza „x = y”
- Niech X (a, b, c) oznacza „a + b + c = 0”
- Niech M (x, y) oznacza „x jest żonaty z y”
Logika zdań
Zdanie to zbiór zdań deklaratywnych, które mają albo wartość prawdziwości „prawda”, albo wartość prawdy „fałsz”. Zdanie składa się ze zmiennych zdaniowych i łączników. Zmienne zdaniowe są oznaczone dużymi literami (A, B itd.). Łączniki łączą zmienne zdaniowe.
Poniżej podano kilka przykładów Twierdzeń -
- „Człowiek jest śmiertelny”, zwraca wartość prawdy „PRAWDA”
- „12 + 9 = 3 - 2”, zwraca wartość prawdy „FALSE”
Poniższe nie jest propozycją -
"A is less than 2" - To dlatego, że jeśli nie podamy określonej wartości A, nie możemy powiedzieć, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Połączenia
W logice zdań używamy następujących pięciu połączeń -
- LUB (∨∨)
- AND (∧∧)
- Negacja / NIE (¬¬)
- Implikacja / jeśli-to (→ ↑)
- Jeśli i tylko wtedy, gdy (⇔⇔)
LUB (∨∨)
Operacja OR dwóch zdań A i B (zapisanych jako A∨BA∨B) jest prawdą, jeśli przynajmniej którakolwiek ze zmiennych zdań A lub B jest prawdziwa.
Tabela prawdy jest następująca -
| ZA | b | A ∨ B |
|---|---|---|
| Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Prawdziwe | Fałszywy | Prawdziwe |
| Fałszywy | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Fałszywy | Fałszywy | Fałszywy |
AND (∧∧)
Operacja AND dwóch zdań A i B (zapisanych jako A∧BA∧B) jest prawdą, jeśli obie zmienne zdaniowe A i B są prawdziwe.
Tabela prawdy jest następująca -
| ZA | b | A ∧ B |
|---|---|---|
| Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Prawdziwe | Fałszywy | Fałszywy |
| Fałszywy | Prawdziwe | Fałszywy |
| Fałszywy | Fałszywy | Fałszywy |
Negacja (¬¬)
Negacja zdania A (zapisanego jako ¬A¬A) jest fałszywa, gdy A jest prawdą, i jest prawdą, gdy A jest fałszywe.
Tabela prawdy jest następująca -
| ZA | ¬A |
|---|---|
| Prawdziwe | Fałszywy |
| Fałszywy | Prawdziwe |
Implikacja / jeśli-to (→ ↑)
Implikacją A → BA → B jest zdanie „jeśli A, to B”. Jest fałszem, jeśli A jest prawdą, a B jest fałszem. Pozostałe przypadki są prawdziwe.
Tabela prawdy jest następująca -
| ZA | b | A → B |
|---|---|---|
| Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Prawdziwe | Fałszywy | Fałszywy |
| Fałszywy | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Fałszywy | Fałszywy | Prawdziwe |
Jeśli i tylko wtedy, gdy (⇔⇔)
A⇔BA⇔B jest dwuwarunkowym łącznikiem logicznym, który jest prawdziwy, gdy p i q są takie same, tj. Oba są fałszywe lub oba są prawdziwe.
Tabela prawdy jest następująca -
| ZA | b | A⇔B |
|---|---|---|
| Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Prawdziwe | Fałszywy | Fałszywy |
| Fałszywy | Prawdziwe | Fałszywy |
| Fałszywy | Fałszywy | Prawdziwe |
Dobrze uformowana formuła
Dobrze uformowana formuła (wff) jest predykatem zawierającym jeden z następujących elementów -
- Wszystkie stałe zdaniowe i zmienne zdaniowe są wffs.
- Jeśli x jest zmienną, a Y jest wff, ∀xY i ∃xY również są wff.
- Wartość prawdy i wartości fałszywe to wffs.
- Każda formuła atomowa to wff.
- Wszystkie łączniki łączące wffs są wffs.
Kwantyfikatory
Zmienna predykatów jest określana ilościowo za pomocą kwantyfikatorów. Istnieją dwa rodzaje kwantyfikatorów w logice predykatów -
- Uniwersalny kwantyfikator
- Kwantyfikator egzystencjalny
Uniwersalny kwantyfikator
Uniwersalny kwantyfikator stwierdza, że instrukcje w jego zakresie są prawdziwe dla każdej wartości określonej zmiennej. Jest oznaczony symbolem ∀.
∀xP(x) czyta się jak dla każdej wartości x, P (x) jest prawdziwe.
Example- „Człowiek jest śmiertelny” można przekształcić w formę zdań ∀xP (x). Tutaj P (x) jest orzeczeniem, które oznacza, że x jest śmiertelne, a wszechświatem dyskursu są wszyscy ludzie.
Kwantyfikator egzystencjalny
Kwantyfikator egzystencjalny stwierdza, że instrukcje w jego zakresie są prawdziwe dla niektórych wartości określonej zmiennej. Jest oznaczony symbolem ∃.
∃xP(x) dla niektórych wartości x odczytuje się jako, P (x) jest prawdziwe.
Example - „Niektórzy ludzie są nieuczciwi” można przekształcić w formę zdaniową ∃x P (x), gdzie P (x) jest orzeczeniem oznaczającym, że x jest nieuczciwy, a wszechświat dyskursu to niektórzy ludzie.
Zagnieżdżone kwantyfikatory
Jeśli użyjemy kwantyfikatora, który pojawia się w zakresie innego kwantyfikatora, nazywamy go kwantyfikatorem zagnieżdżonym.
Example
- ∀ a∃bP (x, y) gdzie P (a, b) oznacza a + b = 0
- ∀ a∀b∀cP (a, b, c) gdzie P (a, b) oznacza a + (b + c) = (a + b) + c
Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)