Logika rozmyta - funkcja członkostwa

Wiemy już, że logika rozmyta nie jest logiką rozmytą, ale logiką używaną do opisu rozmywania. Tę niejasność najlepiej charakteryzuje funkcja członkostwa. Innymi słowy, możemy powiedzieć, że funkcja przynależności reprezentuje stopień prawdziwości w logice rozmytej.

Poniżej znajduje się kilka ważnych punktów związanych z funkcją członkostwa -

Funkcje członkostwa zostały po raz pierwszy wprowadzone w 1965 roku przez Loftiego A. Zadeha w jego pierwszym artykule badawczym „Zbiory rozmyte”.
Funkcje przynależności charakteryzują rozmyte (tj. Wszystkie informacje w zbiorze rozmytym), niezależnie od tego, czy elementy w zbiorach rozmytych są dyskretne czy ciągłe.
Funkcje członkostwa można zdefiniować jako technikę rozwiązywania problemów praktycznych na podstawie doświadczenia, a nie wiedzy.
Funkcje członkostwa są reprezentowane przez formularze graficzne.
Zasady definiowania nieostrości również są niejasne.

Notacja matematyczna

Badaliśmy już, że rozmyty zbiór Ã we wszechświecie informacji U można zdefiniować jako zbiór uporządkowanych par i można go matematycznie przedstawić jako -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Tutaj $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = funkcja członkostwa $ \ widetilde {A} $; zakłada to wartości z zakresu od 0 do 1, tj. $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. Funkcja członkostwa $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ odwzorowuje $ U $ na obszar członkostwa $ M $.

Kropka $ \ left (\ bullet \ right) $ w funkcji przynależności opisanej powyżej reprezentuje element w zbiorze rozmytym; czy jest dyskretny czy ciągły.

Funkcje funkcji członkostwa

Omówimy teraz różne funkcje funkcji członkostwa.

Rdzeń

Dla każdego rozmytego zbioru $ \ widetilde {A} $, rdzeniem funkcji przynależności jest ten region wszechświata, który charakteryzuje się pełnym członkostwem w zbiorze. Stąd rdzeń składa się ze wszystkich tych elementów wszechświata informacji, takich jak:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Wsparcie

Dla każdego rozmytego zbioru $ \ widetilde {A} $, wsparciem funkcji przynależności jest region wszechświata charakteryzujący się niezerowym członkostwem w zbiorze. Stąd rdzeń składa się ze wszystkich tych elementów wszechświata informacji, takich jak:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Granica

Dla dowolnego zbioru rozmytego $ \ widetilde {A} $, granicą funkcji przynależności jest region wszechświata, który charakteryzuje się niezerowym, ale niepełnym przynależnością do zbioru. Stąd rdzeń składa się ze wszystkich tych elementów wszechświata informacji, takich jak:

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzyfikacja

Można to zdefiniować jako proces przekształcania zestawu wyraźnego w zestaw rozmyty lub zestawu rozmytego w zestaw bardziej rozmyty. Zasadniczo ta operacja przekłada dokładne, wyraźne wartości wejściowe na zmienne językowe.

Oto dwie ważne metody fuzzyfikacji -

Obsługa metody fuzzification (s-fuzzification)

W tej metodzie rozmyty zbiór można wyrazić za pomocą następującej zależności -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Tutaj rozmyty zbiór $ Q \ left (x_i \ right) $ jest nazywany jądrem fuzzyfikacji. Ta metoda jest implementowana przez utrzymywanie stałej $ \ mu _i $ i przekształcanie $ x_i $ w rozmyty zbiór $ Q \ left (x_i \ right) $.

Metoda fuzzyfikacji stopni (g-fuzzification)

Jest dość podobna do powyższej metody, ale główna różnica polega na tym, że zachowuje stałą $ x_i $, a $ \ mu _i $ jest wyrażane jako zbiór rozmyty.

Defuzzyfikacja

Można to zdefiniować jako proces redukcji zestawu rozmytego w zestaw ostry lub przekształcenia elementu rozmytego w element ostry.

Zbadaliśmy już, że proces rozmywania obejmuje konwersję ilości ostrych do rozmytych. W wielu zastosowaniach inżynierskich konieczne jest rozmywanie wyniku lub raczej „wyniku rozmytego”, tak aby musiał zostać przekonwertowany na wyraźny wynik. Matematycznie proces defuzyfikacji nazywany jest również „zaokrąglaniem”.

Poniżej opisano różne metody defuzyfikacji -

Metoda maksymalnego członkostwa

Ta metoda jest ograniczona do szczytowych funkcji wyjściowych i jest również znana jako metoda wysokości. Matematycznie można to przedstawić w następujący sposób -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$

Tutaj $ x ^ * $ jest defuzzyfikowanym wyjściem.

Metoda środka ciężkości

Ta metoda jest również znana jako metoda środka powierzchni lub metoda środka ciężkości. Matematycznie zdefuzzyfikowane wyjście $ x ^ * $ będzie przedstawione jako -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Metoda średniej ważonej

W tej metodzie każda funkcja członkostwa jest ważona maksymalną wartością członkostwa. Matematycznie zdefuzzyfikowane wyjście $ x ^ * $ będzie przedstawione jako -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Członkostwo Mean-Max

Ta metoda jest również znana jako środek maksimów. Matematycznie zdefuzzyfikowane wyjście $ x ^ * $ będzie przedstawione jako -

$$ x ^ * = \ Frac {\ Displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$