Численные задачи 2
В предыдущей главе мы обсудили параметры, используемые в модуляции угла. У каждого параметра своя формула. Используя эти формулы, мы можем найти соответствующие значения параметров. В этой главе давайте решим несколько задач, основанных на концепции частотной модуляции.
Проблема 1
Синусоидальный модулирующий сигнал амплитудой 5 В и частотой 2 кГц подается на ЧМ-генератор, который имеет частотную чувствительность 40 Гц / вольт. Рассчитайте отклонение частоты, индекс модуляции и полосу пропускания.
Решение
Учитывая, что амплитуда модулирующего сигнала, $ A_m = 5V $
Частота модулирующего сигнала, $ f_m = 2 кГц $
Частотная чувствительность, $ k_f = 40 Гц / вольт $
Мы знаем формулу отклонения частоты как
$$ \ Delta f = k_f A_m $$
Подставьте значения $ k_f $ и $ A_m $ в приведенную выше формулу.
$$ \ Delta f = 40 \ times 5 = 200 Гц $$
Следовательно, frequency deviation, $ \ Delta f $ составляет 200 Гц $
Формула для индекса модуляции:
$$ \ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m} $$
Подставьте значения $ \ Delta f $ и $ f_m $ в приведенную выше формулу.
$$ \ beta = \ frac {200} {2 \ times 1000} = 0,1 $$
Здесь значение modulation index, $ \ beta $ равно 0,1, что меньше единицы. Следовательно, это узкополосный FM.
Формула для ширины полосы узкополосного FM такая же, как и для AM волны.
$$ BW = 2f_m $$
Подставьте значение $ f_m $ в приведенную выше формулу.
$$ BW = 2 \ times 2K = 4KHz $$
Следовательно bandwidth узкополосной FM-волны составляет 4 кГц.
Проблема 2
Волна FM задается формулой $ s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right ) $. Рассчитайте отклонение частоты, полосу пропускания и мощность FM-волны.
Решение
Учитывая, что уравнение FM-волны как
$$ s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right) $$
Мы знаем стандартное уравнение FM-волны как
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct + \ beta \ sin \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right) $$
Мы получим следующие значения, сравнив два приведенных выше уравнения.
Амплитуда несущего сигнала, $ A_c = 20V $
Частота несущего сигнала, $ f_c = 4 \ times 10 ^ 6 Гц = 4 МГц $
Частота сигнала сообщения, $ f_m = 1 \ times 10 ^ 3 Гц = 1 кГц $
Индекс модуляции, $ \ beta = 9 $
Здесь значение индекса модуляции больше единицы. Следовательно, этоWide Band FM.
Мы знаем формулу для индекса модуляции как
$$ \ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m} $$
Измените приведенное выше уравнение следующим образом.
$$ \ Delta = \ beta f_m $$
Подставьте значения $ \ beta $ и $ f_m $ в приведенное выше уравнение.
$$ \ Delta = 9 \ times 1K = 9 кГц $$
Следовательно, frequency deviation, $ \ Delta f $ составляет $ 9 кГц $.
Формула для ширины полосы широкополосной FM-волны:
$$ BW = 2 \ left (\ beta +1 \ right) f_m $$
Подставьте значения $ \ beta $ и $ f_m $ в приведенную выше формулу.
$$ BW = 2 \ left (9 +1 \ right) 1K = 20KHz $$
Следовательно bandwidth широкополосной FM-волны составляет $ 20 кГц $
Формула мощности FM-волны:
$$ P_c = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Предположим, что $ R = 1 \ Omega $, и подставим значение $ A_c $ в приведенное выше уравнение.
$$ P = \ frac {\ left (20 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 200W $$
Следовательно power FM волны - 200 $ watts.