Численные задачи 2

В предыдущей главе мы обсудили параметры, используемые в модуляции угла. У каждого параметра своя формула. Используя эти формулы, мы можем найти соответствующие значения параметров. В этой главе давайте решим несколько задач, основанных на концепции частотной модуляции.

Проблема 1

Синусоидальный модулирующий сигнал амплитудой 5 В и частотой 2 кГц подается на ЧМ-генератор, который имеет частотную чувствительность 40 Гц / вольт. Рассчитайте отклонение частоты, индекс модуляции и полосу пропускания.

Решение

Учитывая, что амплитуда модулирующего сигнала, $ A_m = 5V $

Частота модулирующего сигнала, $ f_m = 2 кГц $

Частотная чувствительность, $ k_f = 40 Гц / вольт $

Мы знаем формулу отклонения частоты как

$$ \ Delta f = k_f A_m $$

Подставьте значения $ k_f $ и $ A_m $ в приведенную выше формулу.

$$ \ Delta f = 40 \ times 5 = 200 Гц $$

Следовательно, frequency deviation, $ \ Delta f $ составляет 200 Гц $

Формула для индекса модуляции:

$$ \ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m} $$

Подставьте значения $ \ Delta f $ и $ f_m $ в приведенную выше формулу.

$$ \ beta = \ frac {200} {2 \ times 1000} = 0,1 $$

Здесь значение modulation index, $ \ beta $ равно 0,1, что меньше единицы. Следовательно, это узкополосный FM.

Формула для ширины полосы узкополосного FM такая же, как и для AM волны.

$$ BW = 2f_m $$

Подставьте значение $ f_m $ в приведенную выше формулу.

$$ BW = 2 \ times 2K = 4KHz $$

Следовательно bandwidth узкополосной FM-волны составляет 4 кГц.

Проблема 2

Волна FM задается формулой $ s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right ) $. Рассчитайте отклонение частоты, полосу пропускания и мощность FM-волны.

Решение

Учитывая, что уравнение FM-волны как

$$ s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right) $$

Мы знаем стандартное уравнение FM-волны как

$$ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct + \ beta \ sin \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right) $$

Мы получим следующие значения, сравнив два приведенных выше уравнения.

Амплитуда несущего сигнала, $ A_c = 20V $

Частота несущего сигнала, $ f_c = 4 \ times 10 ^ 6 Гц = 4 МГц $

Частота сигнала сообщения, $ f_m = 1 \ times 10 ^ 3 Гц = 1 кГц $

Индекс модуляции, $ \ beta = 9 $

Здесь значение индекса модуляции больше единицы. Следовательно, этоWide Band FM.

Мы знаем формулу для индекса модуляции как

$$ \ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m} $$

Измените приведенное выше уравнение следующим образом.

$$ \ Delta = \ beta f_m $$

Подставьте значения $ \ beta $ и $ f_m $ в приведенное выше уравнение.

$$ \ Delta = 9 \ times 1K = 9 кГц $$

Следовательно, frequency deviation, $ \ Delta f $ составляет $ 9 кГц $.

Формула для ширины полосы широкополосной FM-волны:

$$ BW = 2 \ left (\ beta +1 \ right) f_m $$

Подставьте значения $ \ beta $ и $ f_m $ в приведенную выше формулу.

$$ BW = 2 \ left (9 +1 \ right) 1K = 20KHz $$

Следовательно bandwidth широкополосной FM-волны составляет $ 20 кГц $

Формула мощности FM-волны:

$$ P_c = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$

Предположим, что $ R = 1 \ Omega $, и подставим значение $ A_c $ в приведенное выше уравнение.

$$ P = \ frac {\ left (20 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 200W $$

Следовательно power FM волны - 200 $ watts.