Дискретная математика - Вероятность

Вероятность тесно связана с концепцией подсчета. Мы часто пытаемся угадать результаты азартных игр, таких как карточные игры, игровые автоматы и лотереи; т.е. мы пытаемся найти вероятность или вероятность получения определенного результата.

Probabilityможет быть концептуализирован как обнаружение вероятности возникновения события. Математически это изучение случайных процессов и их результатов. Законы вероятности имеют широкое применение в различных областях, таких как генетика, прогнозирование погоды, опросы общественного мнения, фондовые рынки и т. Д.

Базовые концепции

Теория вероятностей была изобретена в 17 веке двумя французскими математиками, Блезом Паскалем и Пьером де Ферма, которые занимались математическими проблемами, касающимися случая.

Прежде чем перейти к деталям вероятности, давайте разберемся с концепцией некоторых определений.

Random Experiment- Эксперимент, в котором известны все возможные исходы, а точный результат нельзя предсказать заранее, называется случайным экспериментом. Подбрасывание честной монеты - пример случайного эксперимента.

Sample Space- Когда мы проводим эксперимент, то множество S всех возможных результатов называется пространством выборки. Если мы подбрасываем монету, пространство выборок $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Любое подмножество пробного пространства называется событием. Если после подбрасывания монеты выпадет голова, то это событие.

Слово «вероятность» означает вероятность наступления определенного события. Лучшее, что мы можем сказать, - это насколько они вероятны, используя идею вероятности.

$ Вероятность \: из \: возникновения \: из \: \: события = \ frac {Всего \: количество \: из \: благоприятных \: исходов} {Всего \: количество \: из \: Исходов} $

Поскольку возникновение любого события варьируется от 0% до 100%, вероятность варьируется от 0 до 1.

Шаги, чтобы найти вероятность

Шаг 1 - Рассчитайте все возможные результаты эксперимента.

Шаг 2 - Подсчитайте количество благоприятных исходов эксперимента.

Шаг 3 - Примените соответствующую формулу вероятности.

Подбрасывание монеты

Если подброшена монета, возможны два исхода: решка $ (H) $ или решка $ (T) $.

Итак, общее количество исходов = 2

Следовательно, вероятность получить верхнюю фигуру $ (H) $ равна 1/2, а вероятность получить решку $ (T) $ сверху равна 1/2.

Бросание кубика

Когда кости брошены, шесть возможных результатов могут быть на вершине - 1, 2, 3, 4, 5, 6 долларов.

Вероятность выпадения любого из чисел - 1/6.

Вероятность получить четные числа 3/6 = 1/2.

Вероятность получить нечетные числа 3/6 = 1/2

Взять карты из колоды

Если из колоды из 52 карт выбрана одна карта, определите вероятность выпадения туза, а также вероятность выпадения бубна.

Общее количество возможных исходов - 52

Результаты быть асом - 4

Вероятность оказаться тузом = 4/52 = 1/13

Вероятность стать бриллиантом = 13/52 = 1/4

Аксиомы вероятности

Вероятность события всегда варьируется от 0 до 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Для невозможного события вероятность равна 0, а для определенного события вероятность равна 1.
Если на возникновение одного события не влияет другое событие, они называются взаимоисключающими или несвязанными.

Если $ A_1, A_2 .... A_n $ - взаимоисключающие / непересекающиеся события, то $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ для $ i \ ne j $ и $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Свойства вероятности

Если есть два дополнительных события $ x $ и $ \ overline {x} $, то вероятность дополнительного события равна -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Для двух неразделенных событий A и B вероятность объединения двух событий -

$ P (A \ чашка B) = P (A) + P (B) $
Если событие A является подмножеством другого события B (то есть $ A \ subset B $), то вероятность A меньше или равна вероятности B. Следовательно, из $ A \ subset B $ следует $ P (A ) \ leq p (B) $

Условная возможность

Условная вероятность события B - это вероятность того, что событие произойдет, если событие A уже произошло. Это записывается как $ P (B | A) $.

Математически - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Если события A и B являются взаимоисключающими, то условной вероятностью события B после события A будет вероятность события B, равная $ P (B) $.

Problem 1

В стране 50% всех подростков владеют велосипедом, а 30% всех подростков владеют велосипедом и велосипедом. Какова вероятность того, что у подростка есть велосипед, при условии, что у подростка есть велосипед?

Solution

Предположим, что A - это событие для подростков, владеющих только велосипедом, а B - для подростков, владеющих только велосипедом.

Итак, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ и $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ из данной задачи.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Следовательно, вероятность того, что у подростка есть велосипед, при условии, что у подростка есть велосипед, составляет 60%.

Problem 2

В классе 50% всех учеников играют в крикет и 25% всех учеников играют в крикет и волейбол. Какова вероятность того, что студент играет в волейбол, при условии, что он играет в крикет?

Solution

Предположим, что A - это событие, в котором учащиеся играют только в крикет, а B - это событие, в котором учащиеся играют только в волейбол.

Итак, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ и $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ из данной задачи.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Следовательно, вероятность того, что студент играет в волейбол, при условии, что он играет в крикет, составляет 50%.

Problem 3

Путаны шесть хороших ноутбуков и три бракованных. Чтобы найти неисправные ноутбуки, все они тестируются случайным образом один за другим. Какова вероятность найти оба неисправных ноутбука в первых двух наборах?

Solution

Пусть A будет событием, когда мы обнаружим неисправный ноутбук в первом тесте, а B будет случаем, когда мы обнаружим неисправный ноутбук во втором тесте.

Следовательно, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $.

Теорема Байеса

Theorem- Если A и B - два взаимоисключающих события, где $ P (A) $ - вероятность A, а $ P (B) $ - вероятность B, $ P (A | B) $ - вероятность данного события. что B верно. $ P (B | A) $ - это вероятность B при условии, что A истинно, тогда теорема Байеса утверждает:

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Применение теоремы Байеса

В ситуациях, когда все события пространства выборки являются взаимоисключающими.
В ситуациях, когда известно либо $ P (A_i \ cap B) $ для каждого $ A_i $, либо $ P (A_i) $ и $ P (B | A_i) $ для каждого $ A_i $.

Problem

Рассмотрим три подставки для ручек. Первая подставка для ручек содержит 2 красных ручки и 3 синих ручки; во втором - 3 красных ручки и 2 синих ручки; а в третьем - 4 красных ручки и 1 синяя ручка. Существует равная вероятность того, что каждая подставка будет выбрана. Если наугад нарисовать одно перо, какова вероятность того, что это красное перо?

Solution

Пусть $ A_i $ будет событием, когда выбрана i- ^я подставка для перьев.

Здесь i = 1,2,3.

Поскольку вероятность выбора подставки равна, $ P (A_i) = 1/3 $

Пусть B будет событием, когда нарисована красная ручка.

Вероятность того, что красная ручка будет выбрана из пяти перьев первой подставки для пера,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

Вероятность того, что красная ручка будет выбрана среди пяти ручек второй подставки для пера,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

Вероятность того, что красная ручка будет выбрана среди пяти ручек третьей подставки для пера,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Согласно теореме Байеса,