Операторы и постулаты

Теория групп - это раздел математики и абстрактной алгебры, который определяет алгебраическую структуру, называемую group. Обычно группа состоит из набора элементов и операции над любыми двумя элементами в этом наборе, чтобы сформировать третий элемент также в этом наборе.

В 1854 году британский математик Артур Кэли впервые дал современное определение группы:

«Набор символов, все они разные, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит набору, называется группой. . Эти символы в общем случае не являются конвертируемыми [коммутативными], но ассоциативными ».

В этой главе мы узнаем о operators and postulates которые составляют основы теории множеств, теории групп и булевой алгебры.

Любой набор элементов в математической системе может быть определен с помощью набора операторов и ряда постулатов.

А binary operatorопределенное для набора элементов - это правило, которое назначает каждой паре элементов уникальный элемент из этого набора. Например, учитывая набор $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, мы можем сказать, что $ \ otimes $ - бинарный оператор для операции $ c = a \ otimes b $, если он определяет правило нахождения c для пары $ (a, b) $, такой что $ a, b, c \ in A $.

В postulatesматематической системы формируют основные предположения, из которых могут быть выведены правила. Постулаты -

Закрытие

Набор является замкнутым по отношению к бинарному оператору, если для каждой пары элементов в наборе оператор находит уникальный элемент из этого набора.

пример

Пусть $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Это множество замкнуто относительно бинарного оператора в $ (\ ast) $, потому что для операции $ c = a \ ast b $, для любых $ a, b \ in A $, произведение $ c \ in A $.

Множество не замыкается при бинарном операторе деления $ (\ div) $, потому что для операции $ c = a \ div b $ для любых $ a, b \ in A $ произведение c может не входить в набор A. Если $ a = 7, b = 2 $, то $ c = 3,5 $. Здесь $ a, b \ in A $, но $ c \ notin A $.

Ассоциативные законы

Бинарный оператор $ \ otimes $ на множестве A является ассоциативным, если он обладает следующим свойством:

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, где $ x, y, z \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Оператор плюс $ (+) $ ассоциативен, поскольку для любых трех элементов $ x, y, z \ in A $ выполняется свойство $ (x + y) + z = x + (y + z) $.

Оператор минус $ (-) $ не ассоциативен, поскольку

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Коммутативные законы

Бинарный оператор $ \ otimes $ на множестве A коммутативен, если он обладает следующим свойством:

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, где $ x, y \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Оператор плюс $ (+) $ коммутативен, потому что для любых двух элементов $ x, y \ in A $ выполняется свойство $ x + y = y + x $.

Оператор минус $ (-) $ не ассоциативен, поскольку

$$ x - y \ ne y - x $$

Распределительные законы

Два бинарных оператора $ \ otimes $ и $ \ circledast $ на множестве A являются дистрибутивными по оператору $ \ circledast $, когда выполняется следующее свойство:

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, где $ x, y, z \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Операторы в $ (*) $ и plus $ (+) $ являются дистрибутивными по отношению к operator +, потому что для любых трех элементов, $ x, y, z \ in A $, свойство $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ выполняется.

Однако эти операторы не распространяются по $ * $, поскольку

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Элемент идентичности

Множество A имеет единичный элемент относительно бинарной операции $ \ otimes $ на A, если существует элемент $ e \ in A $, такой, что выполняется следующее свойство:

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, где $ x \ in A $

пример

Пусть $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Элемент 1 является единичным по отношению к операции $ * $, поскольку для любого элемента $ x \ in Z $

$$ 1 * x = x * 1 $$

С другой стороны, для операции минус $ (-) $ элемент идентичности отсутствует.

Обратный

Если множество A имеет единичный элемент $ e $ относительно бинарного оператора $ \ otimes $, говорят, что он имеет обратный, если для каждого элемента $ x \ in A $ существует другой элемент $ y \ in A $ , такое, что выполняется следующее свойство -

$$ x \ otimes y = e $$