MATLAB - พีชคณิต

จนถึงตอนนี้เราได้เห็นแล้วว่าตัวอย่างทั้งหมดทำงานใน MATLAB เช่นเดียวกับ GNU หรือที่เรียกว่า Octave แต่สำหรับการแก้สมการพีชคณิตพื้นฐานทั้ง MATLAB และ Octave มีความแตกต่างกันเล็กน้อยดังนั้นเราจะพยายามครอบคลุม MATLAB และ Octave ในส่วนที่แยกจากกัน

เราจะพูดถึงการแยกตัวประกอบและการทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้น

การแก้สมการพีชคณิตพื้นฐานใน MATLAB

solveฟังก์ชันใช้สำหรับแก้สมการพีชคณิต ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดฟังก์ชันแก้ใช้สมการที่อยู่ในเครื่องหมายคำพูดเป็นอาร์กิวเมนต์

ตัวอย่างเช่นให้เราแก้หา x ในสมการ x-5 = 0

solve('x-5=0')

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   5

คุณยังสามารถเรียกใช้ฟังก์ชันการแก้ปัญหาว่า -

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

y =
   5

คุณอาจไม่รวมด้านขวามือของสมการ -

solve('x-5')

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   5

หากสมการมีหลายสัญลักษณ์ตามค่าเริ่มต้น MATLAB จะถือว่าคุณกำลังแก้ปัญหาสำหรับ x อย่างไรก็ตามฟังก์ชันการแก้จะมีรูปแบบอื่น -

solve(equation, variable)

คุณยังสามารถพูดถึงตัวแปรได้อีกด้วย

ตัวอย่างเช่นให้เราแก้สมการ v - u - 3t ² = 0 สำหรับ v ในกรณีนี้เราควรเขียน -

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   3*t^2 + u

การแก้สมการพีชคณิตพื้นฐานในอ็อกเทฟ

roots ฟังก์ชันนี้ใช้สำหรับแก้สมการพีชคณิตในอ็อกเทฟและคุณสามารถเขียนตัวอย่างด้านบนได้ดังนี้ -

ตัวอย่างเช่นให้เราแก้หา x ในสมการ x-5 = 0

roots([1, -5])

Octave จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans = 5

คุณยังสามารถเรียกใช้ฟังก์ชันการแก้ปัญหาว่า -

y = roots([1, -5])

Octave จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

y = 5

การแก้สมการกำลังสองใน MATLAB

solveฟังก์ชันยังสามารถแก้สมการลำดับที่สูงขึ้น มักใช้ในการแก้สมการกำลังสอง ฟังก์ชันจะคืนค่ารากของสมการในอาร์เรย์

ตัวอย่างต่อไปนี้แก้สมการกำลังสอง x ² -7x +12 = 0 สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

การแก้สมการกำลังสองในอ็อกเทฟ

ตัวอย่างต่อไปนี้แก้สมการกำลังสอง x ² -7x +12 = 0 ในอ็อกเทฟ สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

การแก้สมการลำดับที่สูงขึ้นใน MATLAB

solveฟังก์ชันยังสามารถแก้สมการลำดับที่สูงขึ้น ตัวอย่างเช่นให้เราแก้สมการลูกบาศก์เป็น (x-3) ² (x-7) = 0

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   3
   3
   7

ในกรณีของสมการลำดับที่สูงกว่ารากจะมีหลายคำ คุณสามารถรับค่าตัวเลขของรากดังกล่าวได้โดยการแปลงเป็นสองเท่า ตัวอย่างต่อไปนี้แก้สมการลำดับที่สี่ x ⁴ - 7x ³ + 3x ² - 5x + 9 = 0

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะส่งคืนผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

โปรดทราบว่าสองรากสุดท้ายเป็นจำนวนเชิงซ้อน

การแก้สมการลำดับที่สูงขึ้นในอ็อกเทฟ

ตัวอย่างต่อไปนี้แก้สมการลำดับที่สี่ x ⁴ - 7x ³ + 3x ² - 5x + 9 = 0

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะส่งคืนผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

การแก้ระบบสมการใน MATLAB

solveนอกจากนี้ยังสามารถใช้ฟังก์ชันเพื่อสร้างคำตอบของระบบสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว ให้เรายกตัวอย่างง่ายๆเพื่อสาธิตการใช้งานนี้

ให้เราแก้สมการ -

5x + 9y = 5

3x - 6y = 4

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ได้ พิจารณาชุดสมการต่อไปนี้ -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

การแก้ระบบสมการในอ็อกเทฟ

เรามีวิธีการที่แตกต่างกันเล็กน้อยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 'n' ใน 'n' ที่ไม่รู้จัก ให้เรายกตัวอย่างง่ายๆเพื่อสาธิตการใช้งานนี้

ให้เราแก้สมการ -

5x + 9y = 5

3x - 6y = 4

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์เดี่ยว Ax = b โดยที่ A คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ b คือเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีด้านขวามือของสมการเชิงเส้นและ x คือเวกเตอร์คอลัมน์ที่แสดงถึงการแก้ปัญหาเป็น แสดงในโปรแกรมด้านล่าง -

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =

   1.157895
  -0.087719

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ดังที่ระบุด้านล่าง -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

การขยายและรวบรวมสมการใน MATLAB

expand และ collectฟังก์ชันขยายและรวบรวมสมการตามลำดับ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิด -

เมื่อคุณทำงานกับฟังก์ชันสัญลักษณ์จำนวนมากคุณควรประกาศว่าตัวแปรของคุณเป็นสัญลักษณ์

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

การขยายและรวบรวมสมการในอ็อกเทฟ

คุณจำเป็นต้องมี symbolic แพคเกจซึ่งให้ expand และ collectฟังก์ชันเพื่อขยายและรวบรวมสมการตามลำดับ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิด -

เมื่อคุณทำงานกับฟังก์ชันเชิงสัญลักษณ์จำนวนมากคุณควรประกาศว่าตัวแปรของคุณเป็นสัญลักษณ์ แต่อ็อกเทฟมีวิธีการกำหนดตัวแปรสัญลักษณ์ที่แตกต่าง สังเกตการใช้Sin และ Cosซึ่งกำหนดไว้ในแพ็คเกจสัญลักษณ์

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

การแยกตัวประกอบและการลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิต

factor ฟังก์ชันแยกตัวประกอบนิพจน์และ simplifyฟังก์ชันลดความซับซ้อนของนิพจน์ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิด -

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4