MATLAB - แคลคูลัส

MATLAB นำเสนอวิธีต่างๆในการแก้ปัญหาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในระดับใด ๆ และการคำนวณขีด จำกัด เหนือสิ่งอื่นใดคุณสามารถพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและตรวจสอบ maxima, minima และจุดสเตชันเนอรีอื่น ๆ บนกราฟได้โดยการแก้ฟังก์ชันดั้งเดิมและอนุพันธ์ของมัน

บทนี้จะจัดการกับปัญหาของแคลคูลัส ในบทนี้จะกล่าวถึงแนวคิดก่อนแคลคูลัสคือการคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันและการตรวจสอบคุณสมบัติของลิมิต

ในบทถัดไปDifferentialเราจะคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์และค้นหาค่า maxima และ minima ในพื้นที่บนกราฟ เราจะพูดถึงการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

สุดท้ายในการรวมบทที่เราจะหารือแคลคูลัส

การคำนวณขีด จำกัด

MATLAB ให้ไฟล์ limitฟังก์ชันสำหรับคำนวณขีด จำกัด ในรูปแบบพื้นฐานที่สุดไฟล์limit ฟังก์ชันรับนิพจน์เป็นอาร์กิวเมนต์และค้นหาขีด จำกัด ของนิพจน์เมื่อตัวแปรอิสระไปที่ศูนย์

ตัวอย่างเช่นให้เราคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) = (x 3 + 5) / (x 4 + 7) เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   5/7

ฟังก์ชันลิมิตตกอยู่ในขอบเขตของการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ คุณต้องใช้ไฟล์symsฟังก์ชันเพื่อบอก MATLAB ว่าคุณใช้ตัวแปรสัญลักษณ์ใด คุณยังสามารถคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันได้เนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในการคำนวณลิมx-> a (f (x)) เราใช้คำสั่ง จำกัด กับอาร์กิวเมนต์ เป็นครั้งแรกการแสดงออกและสองคือจำนวนที่xแนวทางที่นี่มันเป็น

ตัวอย่างเช่นให้เราคำนวณลิมิตของฟังก์ชัน f (x) = (x-3) / (x-1) เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็น 1

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   NaN

ลองดูอีกตัวอย่าง

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   14

การคำนวณขีด จำกัด โดยใช้ Octave

ต่อไปนี้เป็นรุ่น Octave ของตัวอย่างข้างต้นโดยใช้ symbolic แพ็กเกจลองรันและเปรียบเทียบผลลัพธ์ -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   0.7142857142857142857

การตรวจสอบคุณสมบัติพื้นฐานของขีด จำกัด

Algebraic Limit Theorem ให้คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของขีด จำกัด มีดังต่อไปนี้ -

ให้เราพิจารณาสองฟังก์ชั่น -

  • f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
  • g (x) = x 2 + 1

ให้เราคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่ 5 ของทั้งสองฟังก์ชันและตรวจสอบคุณสมบัติพื้นฐานของขีด จำกัด โดยใช้ฟังก์ชันทั้งสองนี้และ MATLAB

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดง -

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

การตรวจสอบคุณสมบัติพื้นฐานของขีด จำกัด โดยใช้อ็อกเทฟ

ต่อไปนี้เป็นรุ่น Octave ของตัวอย่างข้างต้นโดยใช้ symbolic แพ็กเกจลองรันและเปรียบเทียบผลลัพธ์ -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave จะดำเนินการตามคำสั่งข้างต้นและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

ขีด จำกัด ด้านซ้ายและด้านขวา

เมื่อฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องสำหรับค่าเฉพาะบางค่าของตัวแปรจะไม่มีขีด จำกัด ที่จุดนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งขีด จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) มีความไม่ต่อเนื่องที่ x = a เมื่อค่าของขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้ x จากด้านซ้ายจะไม่เท่ากับค่าของขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้จากด้านขวา

สิ่งนี้นำไปสู่แนวคิดของการ จำกัด มือซ้ายและมือขวา ขีด จำกัด ของคนถนัดซ้ายถูกกำหนดให้เป็นขีด จำกัด เป็น x -> a จากทางซ้ายกล่าวคือ x เข้าใกล้ a สำหรับค่า x <a ขีด จำกัด ของมือขวากำหนดเป็นขีด จำกัด เป็น x -> a จากทางขวากล่าวคือ x เข้าใกล้ a สำหรับค่า x> a เมื่อขีด จำกัด ของคนถนัดซ้ายและคนถนัดขวาไม่เท่ากันจะไม่มีขีด จำกัด

ให้เราพิจารณาฟังก์ชั่น -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

เราจะแสดงให้เห็นว่า lim x-> 3 f (x) ไม่มีอยู่จริง MATLAB ช่วยให้เราสร้างข้อเท็จจริงนี้ได้สองวิธี -

  • โดยการพล็อตกราฟของฟังก์ชันและแสดงความไม่ต่อเนื่อง
  • โดยคำนวณขีด จำกัด และแสดงให้เห็นว่าทั้งสองอย่างแตกต่างกัน

ขีด จำกัด ของมือซ้ายและมือขวาคำนวณโดยการส่งสตริงอักขระ 'ซ้าย' และ 'ขวา' ไปยังคำสั่ง จำกัด เป็นอาร์กิวเมนต์สุดท้าย

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์ MATLAB จะวาดพล็อตต่อไปนี้

หลังจากแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

l =
   -1
  
r =
   1