MATLAB - ดิฟเฟอเรนเชียล

MATLAB ให้ไฟล์ diffคำสั่งสำหรับการคำนวณอนุพันธ์เชิงสัญลักษณ์ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดคุณส่งผ่านฟังก์ชันที่คุณต้องการแยกความแตกต่างให้กับคำสั่ง diff เป็นอาร์กิวเมนต์

ตัวอย่างเช่นให้เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (t) = 3t 2 + 2t -2

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

เมื่อโค้ดด้านบนถูกคอมไพล์และเรียกใช้งานจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ -

ans =
6*t - 4/t^3

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

การตรวจสอบกฎพื้นฐานของความแตกต่าง

ให้เราระบุสมการหรือกฎต่างๆสั้น ๆ สำหรับความแตกต่างของฟังก์ชันและตรวจสอบกฎเหล่านี้ เพื่อจุดประสงค์นี้เราจะเขียน f '(x) สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและ f "(x) สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่สอง

ต่อไปนี้เป็นกฎสำหรับความแตกต่าง -

กฎข้อ 1

สำหรับฟังก์ชัน f และ g และจำนวนจริง a และ b เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน -

h(x) = af(x) + bg(x) ในส่วนที่เกี่ยวกับ x นั้นกำหนดโดย -

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

กฎข้อ 2

sum และ subtraction กฎระบุว่าถ้า f และ g เป็นสองฟังก์ชัน f 'และ g' เป็นอนุพันธ์ตามลำดับจากนั้น

(f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

กฎข้อ 3

product กฎระบุว่าถ้า f และ g เป็นสองฟังก์ชัน f 'และ g' เป็นอนุพันธ์ตามลำดับดังนั้น

(f.g)' = f'.g + g'.f

กฎข้อ 4

quotient กฎระบุว่าถ้า f และ g เป็นสองฟังก์ชัน f 'และ g' เป็นอนุพันธ์ตามลำดับดังนั้น

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g2

กฎข้อ 5

polynomial หรือกฎอำนาจเบื้องต้นระบุว่าถ้า y = f(x) = xnแล้ว f' = n. x(n-1)

ผลลัพธ์โดยตรงของกฎนี้คืออนุพันธ์ของค่าคงที่ใด ๆ เป็นศูนย์กล่าวคือถ้า y = kค่าคงที่แล้ว

f' = 0

กฎข้อ 6

chain กฎระบุว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันของฟังก์ชัน h(x) = f(g(x)) เกี่ยวกับ x คือ

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์ MATLAB จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลลอการิทึมและตรีโกณมิติ

ตารางต่อไปนี้แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลลอการิทึมและตรีโกณมิติที่ใช้กันทั่วไป -

ฟังก์ชัน อนุพันธ์
ca.x c a.x .ln ca (ln คือลอการิทึมธรรมชาติ)
ex จx
ln x 1 / x
lncx 1 / x.ln ค
xx x x . (1 + ln x)
sin(x) cos (x)
cos(x) - ซิน (x)
tan(x) วินาที2 (x) หรือ 1 / cos 2 (x) หรือ 1 + tan 2 (x)
cot(x) -csc 2 (x) หรือ -1 / sin 2 (x) หรือ - (1 + cot 2 (x))
sec(x) วินาที (x) .tan (x)
csc(x) -csc (x) .cot (x)

ตัวอย่าง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์ MATLAB จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

การคำนวณอนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

ในการคำนวณอนุพันธ์ที่สูงขึ้นของฟังก์ชัน f เราใช้ไวยากรณ์ diff(f,n).

ให้เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน y = f (x) = x .e -3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

ตัวอย่าง

ในตัวอย่างนี้ให้เราแก้ปัญหา ระบุว่าฟังก์ชันy = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x). เราจะต้องค้นหาว่าสมการf" + f = -5cos(2x) ถือเป็นความจริง

สร้างไฟล์สคริปต์และพิมพ์รหัสต่อไปนี้ -

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

เมื่อคุณเรียกใช้ไฟล์จะแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

การค้นหา Maxima และ Minima ของ Curve

หากเรากำลังค้นหาค่า maxima และ minima ในพื้นที่สำหรับกราฟโดยพื้นฐานแล้วเราจะมองหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดบนกราฟของฟังก์ชันในพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งหรือสำหรับช่วงค่าเฉพาะของตัวแปรสัญลักษณ์

สำหรับฟังก์ชัน y = f (x) จุดบนกราฟที่กราฟมีความชันเป็นศูนย์จะถูกเรียก stationary points. กล่าวอีกนัยหนึ่งจุดหยุดนิ่งคือโดยที่ f '(x) = 0

ในการหาจุดนิ่งของฟังก์ชันที่เราแยกความแตกต่างเราจำเป็นต้องตั้งค่าอนุพันธ์ให้เท่ากับศูนย์และแก้สมการ

ตัวอย่าง

ให้เราหาจุดหยุดนิ่งของฟังก์ชัน f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17

ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ -

First let us enter the function and plot its graph.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB รันโค้ดและส่งคืนพล็อตต่อไปนี้ -

นี่คือรหัสเทียบเท่า Octave สำหรับตัวอย่างข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

Our aim is to find some local maxima and minima on the graph, so let us find the local maxima and minima for the interval [-2, 2] on the graph.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB รันโค้ดและส่งคืนพล็อตต่อไปนี้ -

นี่คือรหัสเทียบเท่า Octave สำหรับตัวอย่างข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

Next, let us compute the derivative.

g = diff(y)

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

นี่คือ Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

Let us solve the derivative function, g, to get the values where it becomes zero.

s = solve(g)

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

s =
   1
   -2

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

This agrees with our plot. So let us evaluate the function f at the critical points x = 1, -2. เราสามารถแทนค่าในฟังก์ชันสัญลักษณ์โดยใช้ subs คำสั่ง

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   10
ans =
   37

ต่อไปนี้เป็น Octave เทียบเท่ากับการคำนวณข้างต้น -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

ดังนั้นค่าต่ำสุดและสูงสุดในฟังก์ชัน f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17 ในช่วงเวลา [-2,2] คือ 10 และ 37

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์

MATLAB ให้ไฟล์ dsolve คำสั่งสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในเชิงสัญลักษณ์

รูปแบบพื้นฐานที่สุดของไฟล์ dsolve คำสั่งสำหรับการหาคำตอบของสมการเดียวคือ

dsolve('eqn')

โดยที่eqnเป็นสตริงข้อความที่ใช้ในการป้อนสมการ

ส่งคืนโซลูชันเชิงสัญลักษณ์ด้วยชุดของค่าคงที่โดยพลการที่ MATLAB เลเบล C1, C2 และอื่น ๆ

คุณยังสามารถระบุเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตสำหรับปัญหาได้โดยเป็นรายการที่คั่นด้วยจุลภาคตามสมการดังนี้ -

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

สำหรับวัตถุประสงค์ในการใช้คำสั่ง dsolve derivatives are indicated with a D. ตัวอย่างเช่นสมการเช่น f '(t) = -2 * f + cost (t) จะถูกป้อนเป็น -

'Df = -2*f + cos(t)'

อนุพันธ์ที่สูงกว่าจะแสดงโดยทำตาม D ตามลำดับของอนุพันธ์

ตัวอย่างเช่นสมการ f "(x) + 2f '(x) = 5sin3x ควรป้อนเป็น -

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

ให้เรายกตัวอย่างง่ายๆของสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง: y '= 5y

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

s =
   C2*exp(5*t)

ขอยกตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองเป็น: y "- y = 0, y (0) = -1, y '(0) = 2

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB รันโค้ดและส่งกลับผลลัพธ์ต่อไปนี้ -

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
ja/tutorial
es/tutorial
de/tutorial
fr/tutorial
th/tutorial
pt/tutorial
ru/tutorial
vi/tutorial
it/tutorial
ko/tutorial
tr/tutorial
id/tutorial
pl/tutorial
hi/tutorial
japost
espost
depost
frpost
thpost
ptpost
rupost
vipost
itpost
kopost
trpost
idpost
plpost
hipost

© Copyright 2021 - 2024 | All Rights Reserved