Phương trình Friedmann & Mô hình Thế giới
Trong chương này, chúng ta sẽ hiểu Phương trình Friedmann là gì và nghiên cứu chi tiết về Mô hình Thế giới cho các hằng số độ cong khác nhau.
Phương trình Friedmann
Phương trình này cho chúng ta biết về sự giãn nở của không gian trong các mô hình đồng nhất và đẳng hướng của vũ trụ.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Điều này đã được sửa đổi trong ngữ cảnh của General Relativity (GR) và Robertson-Walker Metric như sau.
Sử dụng phương trình GR -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Ở đâu klà hằng số độ cong. Vì thế,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Ngoài ra, $ \ rho $ được thay thế bằng mật độ năng lượng bao gồm vật chất, bức xạ và bất kỳ dạng năng lượng nào khác. Nhưng đối với mục đích đại diện, nó được viết là $ \ rho $.
Các mô hình thế giới cho các hằng số độ cong khác nhau
Bây giờ chúng ta hãy xem xét các khả năng khác nhau tùy thuộc vào các giá trị hằng số độ cong.
Trường hợp 1: k = 1, hoặc Vũ trụ đóng
Đối với một vũ trụ đang giãn nở, $ da / dt> 0 $. Khi tiếp tục mở rộng, số hạng đầu tiên trong RHS của phương trình trên có dạng $ a ^ {- 3} $, trong khi số hạng thứ hai là $ a ^ {- 2} $. Khi hai số hạng trở nên bằng nhau, vũ trụ ngừng giãn nở. Sau đó -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Ở đây, k = 1, do đó,
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Một vũ trụ như vậy là hữu hạn và có thể tích hữu hạn. Đây được gọi là một Vũ trụ đóng.
Trường hợp 2: k = -1, hoặc Vũ trụ mở
Nếu k < 0, việc mở rộng sẽ không bao giờ dừng lại. Sau một thời điểm nào đó, số hạng đầu tiên trên RHS có thể bị bỏ qua so với số hạng thứ hai.
Ở đây, k = -1. Do đó, $ da / dt ∼ c $.
Trong trường hợp này, vũ trụ đang quay cuồng. Một vũ trụ như vậy có không gian và thời gian vô hạn. Đây được gọi là một Vũ trụ Mở.
Trường hợp 3: k = 0, hoặc Vũ trụ phẳng
Trong trường hợp này, vũ trụ đang giãn nở với tốc độ giảm dần. Ở đây, k = 0. Do đó,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Một vũ trụ như vậy có không gian và thời gian vô hạn. Đây được gọi là một Vũ trụ phẳng.
Những điểm cần nhớ
Phương trình Friedmann cho chúng ta biết về sự giãn nở của không gian trong các mô hình đồng nhất và đẳng hướng của vũ trụ.
Tùy thuộc vào các giá trị hằng số độ cong khác nhau, chúng ta có thể có một Vũ trụ Đóng, Mở hoặc Phẳng.