Vũ trụ học - Số liệu Robertson-Walker
Trong chương này, chúng ta sẽ hiểu chi tiết về Chỉ số Robertson-Walker.
Mô hình cho yếu tố quy mô thay đổi theo thời gian
Giả sử một photon được phát ra từ một thiên hà xa xôi. Không gian chuyển tiếp cho photon theo mọi hướng. Sự giãn nở của vũ trụ theo tất cả các hướng. Hãy để chúng tôi xem hệ số tỷ lệ thay đổi như thế nào theo thời gian trong các bước sau.
Step 1 - Đối với vũ trụ tĩnh, hệ số tỷ lệ là 1, tức là giá trị của khoảng cách đi lại là khoảng cách giữa các đối tượng.
Step 2- Hình ảnh sau đây là đồ thị của vũ trụ vẫn đang giãn nở nhưng với tốc độ giảm dần, có nghĩa là đồ thị sẽ bắt đầu trong quá khứ. Cáct = 0 chỉ ra rằng vũ trụ bắt đầu từ thời điểm đó.
Step 3 - Hình ảnh sau đây là đồ thị cho vũ trụ đang giãn nở với tốc độ nhanh hơn.
Step 4 - Hình ảnh sau đây là đồ thị cho vũ trụ bắt đầu co lại từ bây giờ.
Nếu giá trị của hệ số tỷ lệ trở thành 0 trong sự co lại của vũ trụ, nó ngụ ý khoảng cách giữa các vật thể trở nên 0, tức là khoảng cách thích hợp trở thành 0. Khoảng cách đi tới là khoảng cách giữa các vật thể tại một vũ trụ hiện tại, là một đại lượng không đổi. Trong tương lai, khi yếu tố quy mô trở thành0, mọi thứ sẽ đến gần hơn. Mô hình phụ thuộc vào thành phần của vũ trụ.
Số liệu cho vũ trụ giãn nở phẳng (Euclide: không có tham số cho độ cong) được đưa ra là:
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$
Đối với không gian - thời gian, phần tử đường mà chúng ta thu được trong phương trình trên được sửa đổi thành:
$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) \ right \} $$
Đối với không - thời gian, thời gian mà photon được phát ra và khi nó được phát hiện là khác nhau. Khoảng cách thích hợp là khoảng cách tức thời tới các vật thể có thể thay đổi theo thời gian do sự giãn nở của vũ trụ. Đó là khoảng cách mà photon đã di chuyển từ các vật thể khác nhau để đến được với chúng ta. Nó liên quan đến khoảng cách di chuyển là -
$$ d_p = a (t) \ times d_c $$
trong đó $ d_p $ là khoảng cách thích hợp và $ d_c $ là khoảng cách đi kèm, được cố định.
Khoảng cách đo được đến các vật thể trong vũ trụ hiện tại được coi là khoảng cách đi tới, có nghĩa là khoảng cách đi tới là cố định và không thay đổi khi giãn nở. Trước đây, hệ số tỷ lệ nhỏ hơn 1, điều này cho thấy khoảng cách thích hợp nhỏ hơn.
Chúng ta có thể đo độ lệch đỏ của một thiên hà. Do đó, khoảng cách thích hợp $ d_p $ tương ứng với $ c \ times t (z) $, trong đó $ t (z) $ là thời gian nhìn lại đối với dịch chuyển đỏ và c là tốc độ ánh sáng trong chân không. Thời gian xem lại là một hàm của dịch chuyển đỏ(z).
Dựa trên khái niệm trên, chúng ta hãy phân tích cách dịch chuyển đỏ vũ trụ được diễn giải trong kịch bản $ d_p = a (t) \ times d_c $.
Giả sử một photon (liên kết trái đất) được phát ra bởi thiên hà G. $ t_ {em} $ tương ứng với thời điểm photon được phát ra; $ a (t_ {em}) $ là hệ số tỷ lệ tại thời điểm phát ra photon. Vào thời điểm phát hiện ra photon, toàn bộ vũ trụ đã mở rộng, tức là photon bị dịch chuyển đỏ tại thời điểm phát hiện. $ T_ {obs} $ tương ứng với thời điểm phát hiện ra photon và hệ số tỷ lệ tương ứng là $ a (t_ {obs}) $.
Yếu tố mà vũ trụ phát triển được đưa ra bởi -
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Hệ số mà bước sóng đã mở rộng là -
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
bằng với hệ số mà vũ trụ đã phát triển. Các biểu tượng có ý nghĩa thông thường của chúng. Vì thế,
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
Chúng tôi biết rằng dịch chuyển đỏ (z) là -
$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$
$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Giá trị hiện tại của hệ số tỷ lệ là 1, do đó $ a (t_ {obs}) = 1 $ và biểu thị hệ số tỷ lệ khi photon được phát ra trong quá khứ là $ a (t) $.
Vì thế,
$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$
Giải thích Dịch chuyển Đỏ trong Vũ trụ học
Để hiểu điều này, chúng ta hãy lấy ví dụ sau: Nếu $ z = 2 $ thì $ a (t) = 1/3 $.
Nó ngụ ý rằng vũ trụ đã mở rộng thêm ba lần kể từ khi ánh sáng rời khỏi vật thể đó. Bước sóng của bức xạ nhận được đã mở rộng theo hệ số ba vì không gian đã mở rộng theo cùng một hệ số trong quá trình truyền từ vật thể phát ra. Cần lưu ý rằng ở các giá trị lớn như vậy củaz, dịch chuyển đỏ chủ yếu là dịch chuyển đỏ vũ trụ, và nó không phải là thước đo hợp lệ về vận tốc lặn thực tế của vật thể đối với chúng ta.
Đối với nền vi sóng vũ trụ (CMB), z = 1089, có nghĩa là vũ trụ hiện tại đã mở rộng bởi một yếu tố ∼1090. Số liệu cho vũ trụ phẳng, Euclid, đang giãn nở được đưa ra là -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$
Chúng tôi muốn viết số liệu theo bất kỳ độ cong nào.
Robertson and Walker được chứng minh cho bất kỳ vũ trụ cong nào (đồng nhất và đẳng hướng), số liệu được cho là:
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$
Điều này thường được gọi là Robertson–Walker Metricvà đúng với bất kỳ cấu trúc liên kết nào của không gian. Xin lưu ý hệ số phụ trong $ dr ^ 2 $. Đây là hằng số độ cong.
Hình học của vũ trụ
Hình học của Vũ trụ được giải thích với sự trợ giúp của các Đường cong sau đây, bao gồm:
- Độ cong dương
- Độ cong âm
- Độ cong bằng không
Hãy để chúng tôi hiểu chi tiết từng điều này.
Độ cong dương
Nếu một mặt phẳng tiếp tuyến được vẽ tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt cong mà không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt, nó được gọi là bề mặt có độ cong dương tức là bề mặt nằm trên một phía của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm đó. Mặt cầu có độ cong dương.
Độ cong âm
Nếu một mặt phẳng tiếp tuyến được vẽ tại một điểm trên bề mặt cong cắt nhau tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt, nó được gọi là bề mặt có độ cong âm tức là bề mặt đó cong ra khỏi mặt phẳng tiếp tuyến theo hai hướng khác nhau. Bề mặt hình yên ngựa có độ cong âm.
Bây giờ hãy xem xét bề mặt của một hình cầu. Nếu một tam giác được xây dựng trên bề mặt của hình cầu bằng cách nối ba điểm với đường trắc địa (cung của các đường tròn lớn), thì tổng các góc bên trong của tam giác hình cầu lớn hơn 180 o , tức là -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$
Không gian như vậy được gọi là không gian cong dương. Ngoài ra, độ cong là đồng nhất và đẳng hướng. Nói chung, góc ở các đỉnh của tam giác cầu tuân theo quan hệ:
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$
Ở đâu A là diện tích của tam giác và Rlà bán kính của mặt cầu. Hình ảnh sau đây mô tả một không gian cong tích cực.
Đối với một độ cong dương, các đường thẳng song song phải gặp nhau. Coi bề mặt trái đất là một không gian cong dương. Lấy hai điểm xuất phát trên đường xích đạo. Các đường cắt ngang đường xích đạo ở các góc vuông được gọi là các đường kinh độ. Vì những đường thẳng này cắt qua xích đạo ở góc vuông, chúng có thể được gọi là đường thẳng song song. Bắt đầu từ đường xích đạo, cuối cùng chúng giao nhau ở các cực. Phương pháp này đã được sử dụng bởiCarl Gauss và những người khác để hiểu cấu trúc liên kết của trái đất.
Xét một không gian cong âm (hình yên ngựa trong hình sau), tổng các góc trong của tam giác nhỏ hơn 180 o , tức là -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$
Góc ở các đỉnh tuân theo quan hệ -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$
Độ cong bằng không
Một mặt phẳng có độ cong bằng không. Bây giờ đối với một không gian phẳng, nếu lấy một mặt phẳng và một hình tam giác được dựng bằng cách nối ba điểm với đường trắc địa (đường thẳng), thì tổng các góc bên trong sẽ là:
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$
Hình ảnh sau đây là một không gian 2 chiều phẳng.
Nếu người ta muốn một không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thì chỉ còn lại ba khả năng: không gian có thể phẳng đồng nhất hoặc nó có thể có độ cong dương đều hoặc có thể có độ cong âm đồng nhất.
Hằng số độ cong có thể giả định bất kỳ giá trị nào trong ba giá trị sau.
$$ k = \ begin {case} +1, & for \: a \: positive \: curve \: space; \\\ quad 0, & for \: a \: flat \: space; \\ - 1, & for \: a \: negative \: Cong \: space; \ end {case} $$
Cấu trúc liên kết toàn cầu của vũ trụ
Vũ trụ có một cấu trúc liên kết nhất định, nhưng cục bộ nó có thể có những nếp nhăn. Tùy thuộc vào cách vật chất được phân bố trong không gian, có những biến thể nhỏ hơn về độ cong. Chúng ta hãy giả định rằng có một lớp vật thể có cùng kích thước thực bất kể nó ở đâu trong vũ trụ, có nghĩa là chúng giống như những ngọn nến tiêu chuẩn. Chúng không có cùng độ sáng, nhưng chúng có cùng kích thước.
Nếu vật thể ở trong không gian cong dương và các photon xuất phát từ điểm A (một đầu của vật thể) và B (đầu kia của vật thể), thì các photon sẽ truyền song song trong không gian cong dương qua đường trắc địa và cuối cùng chúng sẽ gặp nhau. . Đối với một người quan sát tại C, có vẻ như nó đến từ hai điểm khác nhau theo các hướng khác nhau.
Nếu vật thể ở trong vũ trụ cục bộ và chúng ta đo kích thước góc, nó không bị ảnh hưởng bởi độ cong. Nếu cùng một loại đối tượng được nhìn thấy ở độ lệch đỏ lớn hơn, thì kích thước góc không tương quan với.
$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$
Ở đâu d là kích thước của đối tượng và rlà khoảng cách đến đối tượng, tức là nếu kích thước lớn hơn kích thước cục bộ, nghĩa là độ cong là dương. Hình ảnh sau đây là đại diện của photon được phát hiện trong một không gian cong dương.
Cần lưu ý rằng không có vật thể vật lý thiên văn thực nào có kích thước và hình thái chuẩn. Mặc dù cD hình elip khổng lồ - các thiên hà được cho là phù hợp với các ngọn nến tiêu chuẩn, nhưng chúng cũng được phát hiện là đang phát triển theo thời gian.
Tìm khoảng cách với các thiên hà
Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về cách tìm khoảng cách đến một thiên hà bằng cách xem xét hình ảnh sau đây.
Hãy xem xét Dải Ngân hà tại (r, θ,) trong khung nghỉ vũ trụ. Người ta có thể lấy = 0; (0, θ, ϕ), tức là trung tâm của vũ trụ bằng cách viện dẫn giả định về tính đồng nhất.
Hãy xem xét một thiên hà 'G' tại (r1, θ,). Khoảng cách (thích hợp) là khoảng cách xuyên tâm ngắn nhất mà một photon truyền được. Từ phép đối xứng không gian - thời gian, đường trắc địa rỗng từ r = 0 đến r = r1, có phương không đổi trong không gian. Trong sự truyền xuyên tâm của nó, toạ độ góc không thay đổi. Nếu tọa độ góc thay đổi, thì đó không phải là đường đi ngắn nhất. Đó là lý do tại sao thuật ngữ độ cong có mặt trong dr 2 .
Những điểm cần nhớ
Sự giãn nở của vũ trụ theo tất cả các hướng.
Vũ trụ có thể tĩnh, giãn nở hoặc co lại tùy thuộc vào sự tiến hóa của yếu tố quy mô.
Các thiên hà cD phát triển theo thời gian và do đó không thể được sử dụng làm nến tiêu chuẩn.
Vũ trụ có cấu trúc liên kết nhất định, nhưng cục bộ nó có thể có các nếp nhăn.