Tham số Hubble & Hệ số Quy mô
Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận về Tham số Hubble cũng như Hệ số tỷ lệ.
Prerequisite - Dịch chuyển đỏ vũ trụ, Nguyên lý vũ trụ.
Assumption - Vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng.
Hằng số của Hubble với Tỷ lệ Thay đổi Phân số của Hệ số Quy mô
Trong phần này, chúng ta sẽ liên hệ Hằng số của Hubble với tỷ lệ thay đổi của Hệ số quy mô theo phân số.
Chúng ta có thể viết vận tốc theo cách sau và đơn giản hóa.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Đây, v là vận tốc lặn, a là hệ số quy mô và rp là khoảng cách thích hợp giữa các thiên hà.
Hubble’s Empirical Formula thuộc về bản chất -
$$ v = H \ ast r_p $$
Do đó, so sánh hai phương trình trên, chúng ta thu được:
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Đây không phải là một hằng số vì hệ số tỷ lệ là một hàm của thời gian. Do đó, nó được gọi là tham số của Hubble chứ không phải là hằng số của Hubble.
Theo kinh nghiệm, chúng tôi viết -
$$ H = V / D $$
Do đó, từ phương trình này, chúng ta có thể suy ra rằng vì D đang tăng lên và V là một hằng số, sau đó H giảm dần theo thời gian và sự giãn nở của vũ trụ.
Phương trình Friedmann trong Liên kết với Mô hình Robertson-Walker
Trong phần này, chúng ta sẽ hiểu cách sử dụng Phương trình Friedmann kết hợp với mô hình Robertson-Walker. Để hiểu điều này, chúng ta hãy lấy hình ảnh sau có khối lượng thử nghiệm ở khoảng cách xarp từ khối lượng lớn M như một ví dụ.
Xem xét hình ảnh trên, chúng ta có thể biểu thị lực là -
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Đây, G là hằng số hấp dẫn phổ quát và ρ là mật độ vật chất bên trong vũ trụ quan sát được.
Bây giờ, giả sử mật độ khối lượng đồng đều trong hình cầu, chúng ta có thể viết:
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Sử dụng chúng trở lại trong phương trình lực, chúng ta nhận được -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Như vậy, ta có thể viết thế năng và động năng của khối lượng m như -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Sử dụng Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Nhưng ở đây, $ r_p = ar_c $. Vì vậy, chúng tôi nhận được -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Khi đơn giản hóa hơn nữa, chúng tôi thu được phương trình Friedmann,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Đây Ulà một hằng số. Chúng ta cũng lưu ý rằng vũ trụ chúng ta đang sống hiện nay bị chi phối bởi vật chất, trong khi mật độ năng lượng bức xạ rất thấp.
Những điểm cần nhớ
Thông số Hubble giảm dần theo thời gian và sự giãn nở của vũ trụ.
Vũ trụ chúng ta đang sống hiện nay bị chi phối bởi vật chất và mật độ năng lượng bức xạ rất thấp.