Vũ trụ học - Thông số Hubble & Mật độ

Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận về các tham số Mật độ và Hubble.

Tham số Hubble

Tham số Hubble được xác định như sau:

$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

đo lường mức độ thay đổi nhanh chóng của hệ số quy mô. Nói một cách tổng quát hơn, sự phát triển của hệ số tỷ lệ được xác định bởi Phương trình Friedmann.

$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

Ở đâu, ∧ là một hằng số vũ trụ.

Đối với một vũ trụ phẳng, k = 0, do đó Phương trình Friedmann trở thành -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

Đối với một vũ trụ chi phối vật chất, mật độ thay đổi như sau:

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

và, đối với một vũ trụ chi phối bức xạ, mật độ thay đổi như sau:

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

Hiện tại, chúng ta đang sống trong một vũ trụ chi phối vật chất. Do đó, xem xét $ \ rho ≡ \ rho_m $, chúng tôi nhận được -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

Hằng số vũ trụ và mật độ năng lượng tối có mối quan hệ như sau:

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

Từ điều này, chúng tôi nhận được -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

Ngoài ra, mật độ tới hạn và hằng số Hubble có liên quan như sau:

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

Từ điều này, chúng tôi nhận được -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Ở đây, $ H (z) $ là tham số Hubble phụ thuộc vào dịch chuyển màu đỏ. Điều này có thể được sửa đổi để bao gồm tham số mật độ bức xạ $ \ Omega_ {rad} $ và tham số mật độ độ cong $ \ Omega_k $. Phương trình đã sửa đổi là -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ Hoặc, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ Hoặc, \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

Ở đâu,

$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Điều này cho thấy thông số Hubble thay đổi theo thời gian.

Cho Einstein-de Sitter Vũ trụ, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.

Đưa những giá trị này vào, chúng tôi nhận được -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

cho thấy sự tiến hóa theo thời gian của tham số Hubble cho vũ trụ Einstein-de Sitter.

Tham số mật độ

Tham số mật độ, $ \ Omega $, được định nghĩa là tỷ số giữa mật độ thực tế (hoặc quan sát được) ρ với mật độ tới hạn $ \ rho_c $. Đối với bất kỳ số lượng nào $ x $ tham số mật độ tương ứng, $ \ Omega_x $ có thể được biểu thị toán học dưới dạng:

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

Đối với các đại lượng khác nhau đang được xem xét, chúng ta có thể xác định các thông số mật độ sau.

Không.	Định lượng	Tham số mật độ
1	Baryons	$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $
2	Vật chất (Baryonic + Dark)	$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $
3	Năng lượng tối	$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $
4	Sự bức xạ	$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

Nơi mà các biểu tượng có ý nghĩa thông thường của chúng.

Những điểm cần nhớ

• Sự phát triển của hệ số tỷ lệ được xác định bởi Friedmann Equation.

• H(z) là thông số Hubble phụ thuộc dịch chuyển màu đỏ.

• Các Hubble Parameter thay đổi theo thời gian.

• Các Density Parameter được định nghĩa là tỷ số giữa mật độ thực tế (hoặc quan sát được) với mật độ tới hạn.