Vũ trụ học - Khoảng cách độ sáng
Như đã thảo luận trong chương trước, khoảng cách đường kính góc tới nguồn tại dịch chuyển màu đỏ z được đưa ra bởi -
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $ $
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {r_c} {1 + z_ {gal}} $$
trong đó $ r_c $ là khoảng cách sắp kết thúc.
Khoảng cách độ sáng phụ thuộc vào vũ trụ học và nó được định nghĩa là khoảng cách mà thông lượng quan sát được f là từ một đối tượng.
Nếu đã biết độ sáng nội tại $ d_L $ của một vật thể ở xa, chúng ta có thể tính độ sáng của nó bằng cách đo từ thông $ f $ được xác định bởi -
$$ d_L (z) = \ sqrt {\ frac {L} {4 \ pi f}} $$
Năng lượng Photon chuyển sang màu đỏ.
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
trong đó $ \ lambda_ {obs}, \ lambda_ {emi} $ được quan sát và phát ra độ dài sóng và $ a_0, a_e $ là các hệ số tỷ lệ tương ứng.
$$ \ frac {\ Delta t_ {obs}} {\ Delta t_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
trong đó $ \ Delta_t {obs} $ được quan sát là khoảng thời gian photon, trong khi $ \ Delta_t {emi} $ là khoảng thời gian mà chúng được phát ra.
$$ L_ {emi} = \ frac {nhv_ {emi}} {\ Delta t_ {emi}} $$
$$ L_ {obs} = \ frac {nhv_ {obs}} {\ Delta t_ {obs}} $$
$ \ Delta t_ {obs} $ sẽ mất nhiều thời gian hơn $ \ Delta t_ {emi} $ vì bộ dò sẽ nhận tất cả các photon.
$$ L_ {obs} = L_ {emi} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) ^ 2 $$
$$ L_ {obs} <L_ {emi} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi d_L ^ 2} $$
Đối với một vũ trụ không giãn nở, khoảng cách độ sáng giống như khoảng cách đi tới.
$$ d_L = r_c $$
$$ \ Rightarrow f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi r_c ^ 2} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {emi}} {4 \ pi r_c ^ 2} \ left (\ frac {a_e} {a_0} \ right) ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow d_L = r_c \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
Chúng tôi đang tìm khoảng cách độ sáng $ d_L $ để tính độ sáng của vật thể phát ra $ L_ {emi} $ -
Interpretation - Nếu chúng ta biết sự chuyển dịch màu đỏ zcủa bất kỳ thiên hà nào, chúng ta có thể tìm ra $ d_A $ và từ đó chúng ta có thể tính được $ r_c $. Điều này được sử dụng để tìm ra $ d_L $.
Nếu $ d_L! = r_c (a_0 / a_e) $, thì chúng ta không thể tìm thấy Lemi từ $ f_ {obs} $.
Mối quan hệ giữa Khoảng cách độ sáng $ d_L $ và Khoảng cách đường kính góc $ d_A. $
Chúng tôi biết rằng -
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {d_L} {1 + z_ {gal}} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) d_A (z_ {gal}) \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
Hệ số tỷ lệ khi các photon được phát ra được cho bởi:
$$ a_e = \ frac {1} {(1 + z_ {gal})} $$
Hệ số tỷ lệ cho vũ trụ hiện tại là -
$$ a_0 = 1 $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) ^ 2d_ \ wedge (z_ {gal}) $$
Cái nào để chọn $ d_L $ hoặc $ d_A $?
Đối với một thiên hà có kích thước đã biết và độ dịch chuyển màu đỏ để tính toán độ lớn của nó, thì $ d_A $ được sử dụng.
Nếu có một thiên hà có độ lớn biểu kiến cho trước, thì để xác định độ lớn của nó, $ d_L $ được sử dụng.
Example - Nếu cho rằng hai thiên hà có độ dịch chuyển đỏ bằng nhau (z = 1) và trong mặt phẳng bầu trời, chúng cách nhau 2.3 arc sec thì khoảng cách vật lý tối đa giữa hai chất đó là bao nhiêu?
Đối với điều này, hãy sử dụng $ d_A $ như sau:
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $$
trong đó z = 1 thay thế cho H (z) dựa trên các tham số vũ trụ học của các thiên hà.
Những điểm cần nhớ
Khoảng cách độ sáng phụ thuộc vào cosmology.
Nếu biết độ sáng nội tại $ d_L $ của một vật thể ở xa, chúng ta có thể tính độ sáng của nó bằng cách đo thông lượng f.
Đối với một vũ trụ không giãn nở, khoảng cách độ sáng giống như comoving distance.
Khoảng cách độ sáng luôn lớn hơn Angular Diameter Distance.