Vũ trụ học - Vũ trụ thống trị Vật chất
Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận về các Giải pháp cho Phương trình Friedmann liên quan đến Vũ trụ Chi phối Vật chất. Trong vũ trụ học, bởi vì chúng ta đang nhìn thấy mọi thứ ở quy mô lớn, các hệ mặt trời, các thiên hà, mọi thứ xảy ra giống như các hạt bụi (đó là những gì chúng ta nhìn thấy bằng mắt), chúng ta có thể gọi nó là vũ trụ bụi hoặc vũ trụ chỉ vật chất.
bên trong Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Chúng ta có thể thấy có một điều khoản áp lực. Đối với một vũ trụ đầy bụi,P = 0, bởi vì mật độ năng lượng của vật chất sẽ lớn hơn áp suất bức xạ, và vật chất không chuyển động với tốc độ tương đối tính.
Vì vậy, Phương trình Chất lỏng sẽ trở thành,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: hằng $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
Không có trực giác ngược lại trong phương trình này vì mật độ phải chia tỷ lệ là $ a ^ {- 3} $ vì Khối lượng đang tăng là $ a ^ 3 $.
Từ mối quan hệ cuối cùng, chúng ta có thể nói rằng,
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Đối với vũ trụ hiện tại, a, bằng a0 nên là 1. Vì vậy,
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
Trong một vũ trụ phẳng thống trị vật chất, k = 0. Vì vậy, phương trình Friedmann sẽ trở thành,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Bằng cách giải phương trình này, chúng ta sẽ nhận được,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Điều này có nghĩa là vũ trụ sẽ tiếp tục tăng với tốc độ giảm dần. Hình ảnh sau đây cho thấy sự mở rộng của một Vũ trụ Bụi.
Ρ Thay đổi theo thời gian như thế nào?
Hãy xem phương trình sau:
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Chúng tôi biết rằng hệ số tỷ lệ thay đổi theo thời gian là $ t ^ {2/3} $. Vì thế,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Phân biệt nó, chúng ta sẽ nhận được,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Chúng tôi biết rằng Hubble Constant Là,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Đây là phương trình cho Einstein-de sitter Universe. Nếu chúng ta muốn tính tuổi hiện tại của vũ trụ thì,
$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$
Sau khi đặt giá trị $ H_0 $ cho vũ trụ hiện tại, chúng ta sẽ nhận được giá trị tuổi của vũ trụ là 9 Gyrs. Có nhiềuGlobular Cluster trong thiên hà dải ngân hà của chúng ta có tuổi hơn thế.
Đó là tất cả về vũ trụ đầy bụi. Bây giờ, nếu bạn giả sử rằng vũ trụ bị chi phối bởi bức xạ chứ không phải bởi vật chất, thì mật độ năng lượng bức xạ sẽ là $ a ^ {- 4} $ chứ không phải là $ a ^ {- 3} $. Chúng ta sẽ xem thêm về nó trong chương tiếp theo.
Những điểm cần nhớ
Trong vũ trụ học, mọi thứ xảy ra giống như các hạt bụi, do đó, chúng ta gọi nó là vũ trụ bụi hoặc vũ trụ chỉ vật chất.
Nếu chúng ta giả sử rằng vũ trụ bị chi phối bởi bức xạ chứ không phải bởi vật chất, thì mật độ năng lượng bức xạ sẽ là $ a ^ {- 4} $ chứ không phải là $ a ^ {- 3} $.