Mạch kỹ thuật số - Đại số Boolean

Boolean Algebralà một đại số, xử lý các số nhị phân và các biến nhị phân. Do đó, nó còn được gọi là Đại số nhị phân hoặc Đại số lôgic. Một nhà toán học, tên là George Boole đã phát triển đại số này vào năm 1854. Các biến được sử dụng trong đại số này còn được gọi là biến Boolean.

Phạm vi điện áp tương ứng với logic 'Cao' được biểu thị bằng '1' và phạm vi điện áp tương ứng với logic 'Thấp' được biểu thị bằng '0'.

Định đề và luật cơ bản của đại số Boolean

Trong phần này, chúng ta hãy thảo luận về các định đề Boolean và các định luật cơ bản được sử dụng trong đại số Boolean. Chúng hữu ích trong việc giảm thiểu các hàm Boolean.

Định đề Boolean

Xét các số nhị phân 0 và 1, biến Boolean (x) và phần bù của nó (x '). Biến Boolean hoặc phần bổ sung của nó được gọi làliteral. Bốn khả thilogical OR các phép toán giữa các chữ và số nhị phân này được hiển thị bên dưới.

x + 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x '= 1

Tương tự, bốn điều có thể logical AND các phép toán giữa các chữ và số nhị phân đó được hiển thị bên dưới.

x.1 = x

x.0 = 0

xx = x

x.x '= 0

Đây là những định đề Boolean đơn giản. Chúng ta có thể xác minh những định đề này một cách dễ dàng, bằng cách thay thế biến Boolean bằng '0' hoặc '1'.

Note- Phần bù của phần bù của bất kỳ biến Boolean nào cũng bằng chính biến đó. tức là, (x ')' = x.

Luật cơ bản của đại số Boolean

Sau đây là ba định luật cơ bản của Đại số Boolean.

Luật thay thế
Luật kết hợp
Luật phân phối

Luật thay thế

Nếu bất kỳ phép toán logic nào của hai biến Boolean cho cùng một kết quả bất kể thứ tự của hai biến đó, thì phép toán logic đó được cho là Commutative. Các phép toán logic OR & logic AND của hai biến Boolean x & y được hiển thị bên dưới

x + y = y + x

xy = yx

Biểu tượng '+' cho biết phép toán HOẶC logic. Tương tự, ký hiệu '.' chỉ ra hoạt động logic AND và nó là tùy chọn để đại diện. Luật giao hoán tuân theo các phép toán logic OR & logic AND.

Luật kết hợp

Nếu một phép toán logic của hai biến Boolean bất kỳ được thực hiện trước và sau đó phép toán tương tự được thực hiện với biến còn lại cho cùng một kết quả, thì phép toán logic đó được cho là Associative. Các phép toán logic OR & logic AND của ba biến Boolean x, y & z được hiển thị bên dưới.

x + (y + z) = (x + y) + z

x. (yz) = (xy) .z

Luật kết hợp tuân theo các phép toán logic OR & logic AND.

Luật phân phối

Nếu bất kỳ phép toán logic nào có thể được phân phối cho tất cả các điều khoản có trong hàm Boolean, thì phép toán logic đó được cho là Distributive. Sự phân bố của phép toán OR & logic AND của ba biến Boolean x, y & z được hiển thị bên dưới.

x. (y + z) = xy + xz

x + (yz) = (x + y). (x + z)

Luật phân phối tuân theo các phép toán logic OR và logic AND.

Đây là những luật cơ bản của đại số Boolean. Chúng ta có thể xác minh các luật này một cách dễ dàng bằng cách thay các biến Boolean bằng '0' hoặc '1'.

Các định lý của Đại số Boolean

Hai định lý sau được sử dụng trong đại số Boolean.

Định lý đối ngẫu
Định lý DeMorgan

Định lý Đối ngẫu

Định lý này phát biểu rằng dualcủa hàm Boolean thu được bằng cách hoán đổi toán tử logic AND với toán tử OR logic và các số không với các toán tử. Với mỗi hàm Boolean, sẽ có một hàm Dual tương ứng.

Chúng ta hãy lập các phương trình Boolean (quan hệ) mà chúng ta đã thảo luận trong phần các định đề Boolean và các định luật cơ bản thành hai nhóm. Bảng sau đây cho thấy hai nhóm này.

Nhóm 1	Nhóm 2
x + 0 = x	x.1 = x
x + 1 = 1	x.0 = 0
x + x = x	xx = x
x + x '= 1	x.x '= 0
x + y = y + x	xy = yx
x + (y + z) = (x + y) + z	x. (yz) = (xy) .z
x. (y + z) = xy + xz	x + (yz) = (x + y). (x + z)

Trong mỗi hàng, có hai phương trình Boolean và chúng là đối ngẫu với nhau. Chúng ta có thể xác minh tất cả các phương trình Boolean này của Nhóm1 và Nhóm2 bằng cách sử dụng định lý đối ngẫu.

Định lý DeMorgan

Định lý này rất hữu ích trong việc tìm ra complement of Boolean function. Nó nói rằng phần bù của OR logic của ít nhất hai biến Boolean bằng AND logic của mỗi biến bổ sung.

Định lý DeMorgan với 2 biến Boolean x và y có thể được biểu diễn dưới dạng

(x + y) '= x'.y'

Đối ngẫu của hàm Boolean ở trên là

(xy) '= x' + y '

Do đó, phần bù của AND logic của hai biến Boolean bằng OR logic của mỗi biến bổ sung. Tương tự, chúng ta cũng có thể áp dụng định lý DeMorgan cho nhiều hơn 2 biến Boolean.

Đơn giản hóa các hàm Boolean

Cho đến bây giờ, chúng ta đã thảo luận về các định đề, các định luật và định lý cơ bản của đại số Boolean. Bây giờ, chúng ta hãy đơn giản hóa một số hàm Boolean.

ví dụ 1

Hãy để chúng tôi simplify hàm Boolean, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr

Chúng ta có thể đơn giản hóa hàm này bằng hai phương pháp.

Method 1

Cho hàm Boolean, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1- Trong điều kiện thứ nhất và thứ hai, r là chung và trong điều khoản thứ ba và thứ tư, pq là chung. Vì vậy, hãy sử dụng các thuật ngữ chung bằng cách sử dụngDistributive law.

⇒ f = (p'q + pq ') r + pq (r' + r)

Step 2- Các thuật ngữ có trong ngoặc đơn đầu tiên có thể được đơn giản hóa thành phép toán Ex-OR. Các thuật ngữ trong ngoặc đơn thứ hai có thể được đơn giản hóa thành '1' bằng cách sử dụngBoolean postulate

⇒ f = (p ⊕q) r + pq (1)

Step 3- Thuật ngữ đầu tiên không thể được đơn giản hóa hơn nữa. Tuy nhiên, thuật ngữ thứ hai có thể được đơn giản hóa thành pq bằng cách sử dụngBoolean postulate.

⇒ f = (p ⊕q) r + pq

Do đó, hàm Boolean được đơn giản hóa là f = (p⊕q)r + pq

Method 2

Cho hàm Boolean, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1 - Sử dụng Boolean postulate, x + x = x. Điều đó có nghĩa là, phép toán logic OR với bất kỳ biến Boolean nào 'n' lần sẽ bằng cùng một biến. Vì vậy, chúng ta có thể viết pqr số hạng cuối cùng hai lần nữa.

⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr

Step 2 - Sử dụng Distributive lawcho 1 ^st và 4 ^thứ về, 2 ^nd và 5 ^ngày điều khoản, 3 ^thứ 6 ^ngày về.

⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)

Step 3 - Sử dụng Boolean postulate, x + x '= 1 để đơn giản hóa các thuật ngữ có trong mỗi dấu ngoặc đơn.

⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)

Step 4 - Sử dụng Boolean postulate, x.1 = x để đơn giản hóa ba số hạng trên.

⇒ f = qr + pr + pq

⇒ f = pq + qr + pr

Do đó, hàm Boolean được đơn giản hóa là f = pq + qr + pr.

Vì vậy, chúng ta có hai hàm Boolean khác nhau sau khi đơn giản hóa hàm Boolean đã cho trong mỗi phương thức. Về mặt chức năng, hai hàm Boolean đó giống nhau. Vì vậy, dựa trên yêu cầu, chúng ta có thể chọn một trong hai hàm Boolean đó.