Mạch kỹ thuật số - Dạng chuẩn & chuẩn
Chúng ta sẽ nhận được bốn số hạng tích số Boolean bằng cách kết hợp hai biến x và y với phép toán logic AND. Các thuật ngữ sản phẩm Boolean này được gọi làmin terms hoặc là standard product terms. Các số hạng tối thiểu là x'y ', x'y, xy' và xy.
Tương tự, chúng ta sẽ nhận được bốn số hạng tổng Boolean bằng cách kết hợp hai biến x và y với phép toán OR logic. Các số hạng tổng Boolean này được gọi làMax terms hoặc là standard sum terms. Các số hạng Max là x + y, x + y ', x' + y và x '+ y'.
Bảng sau đây cho thấy sự biểu diễn của số hạng min và số hạng MAX cho 2 biến.
| x | y | Điều khoản tối thiểu | Điều khoản tối đa |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Nếu biến nhị phân là '0', thì nó được biểu diễn dưới dạng phần bù của biến trong số hạng min và như chính biến đó trong số hạng Max. Tương tự, nếu biến nhị phân là '1', thì nó được biểu diễn dưới dạng phần bù của biến trong số hạng Max và như chính biến đó trong số hạng min.
Từ bảng trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng các số hạng min và số hạng Max là bổ sung cho nhau. Nếu có 'n' biến Boolean, thì sẽ có 2 n số hạng min và 2 n số hạng Max.
Các dạng SoP và PoS chuẩn
Một bảng sự thật bao gồm một tập hợp các đầu vào và đầu ra. Nếu có 'n' biến đầu vào, thì sẽ có 2 n kết hợp có thể có với số không và số một. Vì vậy giá trị của mỗi biến đầu ra phụ thuộc vào sự kết hợp của các biến đầu vào. Vì vậy, mỗi biến đầu ra sẽ có '1' cho một số kết hợp của các biến đầu vào và '0' cho một số kết hợp khác của các biến đầu vào.
Do đó, chúng ta có thể biểu diễn mỗi biến đầu ra theo hai cách sau.
- Biểu mẫu SoP chuẩn
- Biểu mẫu PoS chuẩn
Biểu mẫu SoP chuẩn
Biểu mẫu SoP hợp quy có nghĩa là biểu mẫu Tổng sản phẩm hợp quy. Ở dạng này, mỗi thuật ngữ sản phẩm chứa tất cả các chữ. Vì vậy, các điều khoản sản phẩm này không là gì ngoài các điều khoản tối thiểu. Do đó, dạng SoP chuẩn còn được gọi làsum of min terms hình thức.
Đầu tiên, xác định các số hạng min mà biến đầu ra là một và sau đó thực hiện OR logic của các số hạng min đó để nhận được biểu thức Boolean (hàm) tương ứng với biến đầu ra đó. Hàm Boolean này sẽ ở dạng tổng các số hạng nhỏ nhất.
Cũng thực hiện theo quy trình tương tự cho các biến đầu ra khác, nếu có nhiều hơn một biến đầu ra.
Thí dụ
Hãy xem xét những điều sau truth table.
| Đầu vào | Đầu ra | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Ở đây, đầu ra (f) là '1' cho bốn kết hợp đầu vào. Các số hạng tối thiểu tương ứng là p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Bằng cách thực hiện logic OR của bốn số hạng nhỏ nhất này, chúng ta sẽ nhận được hàm Boolean của đầu ra (f).
Do đó, hàm Boolean của đầu ra là, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Đây làcanonical SoP formđầu ra, f. Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm này trong hai ký hiệu sau.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
Trong một phương trình, chúng tôi biểu diễn hàm dưới dạng tổng các số hạng nhỏ nhất tương ứng. Trong phương trình khác, chúng tôi sử dụng ký hiệu để tính tổng các số hạng tối thiểu đó.
Biểu mẫu PoS chuẩn
Dạng Canonical PoS nghĩa là Sản phẩm Canonical của dạng Sums. Ở dạng này, mỗi số hạng tổng chứa tất cả các chữ. Vì vậy, các điều khoản tổng này không là gì khác ngoài các điều khoản Max. Do đó, biểu mẫu PoS chuẩn còn được gọi làproduct of Max terms hình thức.
Đầu tiên, xác định các số hạng Max mà biến đầu ra là 0 và sau đó thực hiện phép logic AND của các số hạng Max đó để nhận được biểu thức Boolean (hàm) tương ứng với biến đầu ra đó. Hàm Boolean này sẽ ở dạng tích các số hạng Max.
Cũng thực hiện theo quy trình tương tự cho các biến đầu ra khác, nếu có nhiều hơn một biến đầu ra.
Example
Hãy xem xét cùng một bảng sự thật của ví dụ trước. Ở đây, đầu ra (f) là '0' cho bốn kết hợp đầu vào. Các số hạng Max tương ứng là p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Bằng cách thực hiện logic AND của bốn số hạng Max này, chúng ta sẽ nhận được hàm Boolean của đầu ra (f).
Do đó, hàm Boolean của đầu ra là, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Đây làcanonical PoS formđầu ra, f. Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm này trong hai ký hiệu sau.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
Trong một phương trình, chúng tôi biểu diễn hàm dưới dạng tích của các số hạng Max tương ứng. Trong phương trình khác, chúng tôi sử dụng ký hiệu để nhân các số hạng Max đó.
Hàm Boolean, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) là đối ngẫu của hàm Boolean, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Do đó, cả hai dạng SoP chuẩn và PoS chuẩn đều Dualcho nhau. Về mặt chức năng, hai hình thức này giống nhau. Căn cứ vào yêu cầu, chúng ta có thể sử dụng một trong hai hình thức này.
Các dạng SoP và PoS tiêu chuẩn
Chúng tôi đã thảo luận về hai dạng chính tắc biểu diễn (các) đầu ra Boolean. Tương tự, có hai dạng tiêu chuẩn biểu diễn (các) đầu ra Boolean. Đây là phiên bản đơn giản hóa của các biểu mẫu chuẩn.
- Mẫu SoP tiêu chuẩn
- Mẫu PoS tiêu chuẩn
Chúng ta sẽ thảo luận về cổng Logic trong các chương sau. Chínhadvantagecủa các dạng tiêu chuẩn là số lượng đầu vào áp dụng cho các cổng logic có thể được giảm thiểu. Đôi khi, tổng số cổng logic được yêu cầu sẽ giảm.
Mẫu SoP tiêu chuẩn
Mẫu SoP tiêu chuẩn có nghĩa là Standard Sum of Productshình thức. Ở dạng này, mỗi thuật ngữ sản phẩm không cần chứa tất cả các chữ. Vì vậy, điều khoản sản phẩm có thể là điều khoản tối thiểu hoặc không. Do đó, biểu mẫu SoP chuẩn là dạng đơn giản hóa của biểu mẫu SoP chuẩn.
Chúng ta sẽ nhận được dạng SoP chuẩn của biến đầu ra trong hai bước.
- Nhận dạng SoP chuẩn của biến đầu ra
- Đơn giản hóa hàm Boolean ở trên, ở dạng SoP chính tắc.
Cũng thực hiện theo quy trình tương tự cho các biến đầu ra khác, nếu có nhiều hơn một biến đầu ra. Đôi khi, không thể đơn giản hóa biểu mẫu SoP chuẩn. Trong trường hợp đó, cả hai dạng SoP chuẩn và chuẩn đều giống nhau.
Example
Chuyển đổi hàm Boolean sau đây thành dạng SoP chuẩn.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Hàm Boolean đã cho ở dạng SoP chính tắc. Bây giờ, chúng ta phải đơn giản hóa hàm Boolean này để có được dạng SoP chuẩn.
Step 1 - Sử dụng Boolean postulate, x + x = x. Điều đó có nghĩa là, phép toán Logical OR với bất kỳ biến Boolean nào 'n' lần sẽ bằng với cùng một biến. Vì vậy, chúng ta có thể viết pqr số hạng cuối cùng hai lần nữa.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Sử dụng Distributive lawcho 1 st và 4 thứ về, 2 nd và 5 ngày điều khoản, 3 thứ 6 ngày về.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Sử dụng Boolean postulate, x + x '= 1 để đơn giản hóa các thuật ngữ có trong mỗi dấu ngoặc đơn.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Sử dụng Boolean postulate, x.1 = x để đơn giản hóa ba số hạng trên.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Đây là hàm Boolean đơn giản hóa. Do đó,standard SoP form tương ứng với dạng SoP chuẩn đã cho là f = pq + qr + pr
Mẫu PoS tiêu chuẩn
Biểu mẫu PoS tiêu chuẩn có nghĩa là Standard Product of Sumshình thức. Ở dạng này, mỗi thuật ngữ tổng không cần chứa tất cả các chữ. Vì vậy, các điều khoản tổng có thể có hoặc không phải là các điều khoản Max. Do đó, biểu mẫu PoS chuẩn là dạng đơn giản hóa của biểu mẫu PoS chuẩn.
Chúng ta sẽ nhận được dạng chuẩn PoS của biến đầu ra trong hai bước.
- Nhận dạng PoS chuẩn của biến đầu ra
- Đơn giản hóa hàm Boolean ở trên, ở dạng PoS chính tắc.
Cũng thực hiện theo quy trình tương tự cho các biến đầu ra khác, nếu có nhiều hơn một biến đầu ra. Đôi khi, không thể đơn giản hóa biểu mẫu PoS chuẩn. Trong trường hợp đó, cả hai dạng PoS chuẩn và chuẩn đều giống nhau.
Example
Chuyển đổi hàm Boolean sau đây thành dạng PoS chuẩn.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
Hàm Boolean đã cho ở dạng PoS chính tắc. Bây giờ, chúng ta phải đơn giản hóa hàm Boolean này để có được biểu mẫu PoS chuẩn.
Step 1 - Sử dụng Boolean postulate, xx = x. Điều đó có nghĩa là, phép toán logic AND với bất kỳ biến Boolean nào 'n' lần sẽ bằng cùng một biến. Vì vậy, chúng ta có thể viết số hạng đầu tiên p + q + r thêm hai lần nữa.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Sử dụng Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) cho 1 st và 4 thứ ngoặc, 2 nd và 5 thứ ngoặc, 3 thứ và 6 thứ ngoặc.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - Sử dụng Boolean postulate, x.x '= 0 để đơn giản hóa các thuật ngữ có trong mỗi dấu ngoặc đơn.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Sử dụng Boolean postulate, x + 0 = x để đơn giản hóa các thuật ngữ có trong mỗi dấu ngoặc đơn
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Đây là hàm Boolean đơn giản hóa. Do đó,standard PoS form tương ứng với biểu mẫu PoS chuẩn nhất định là f = (p + q).(q + r).(p + r). Đây làdual của hàm Boolean, f = pq + qr + pr.
Do đó, cả hai dạng SoP Chuẩn và Chuẩn PoS là Kép với nhau.