Logic mờ - Lý thuyết tập hợp cổ điển

A setlà một tập hợp không có thứ tự của các phần tử khác nhau. Nó có thể được viết rõ ràng bằng cách liệt kê các phần tử của nó bằng cách sử dụng dấu ngoặc vuông. Nếu thứ tự của các phần tử bị thay đổi hoặc bất kỳ phần tử nào của một tập hợp được lặp lại, nó sẽ không tạo ra bất kỳ thay đổi nào trong tập hợp.

Thí dụ

Tập hợp tất cả các số nguyên dương.
Một tập hợp tất cả các hành tinh trong hệ mặt trời.
Một tập hợp của tất cả các tiểu bang ở Ấn Độ.
Một tập hợp tất cả các chữ cái viết thường của bảng chữ cái.

Biểu diễn toán học của một tập hợp

Tập hợp có thể được biểu diễn theo hai cách:

Bảng phân công hoặc dạng bảng

Ở dạng này, một tập hợp được biểu diễn bằng cách liệt kê tất cả các phần tử bao gồm nó. Các phần tử được đặt trong dấu ngoặc nhọn và được phân tách bằng dấu phẩy.

Sau đây là các ví dụ về tập hợp trong Danh sách hoặc Biểu mẫu Bảng -

Tập hợp các nguyên âm trong bảng chữ cái tiếng Anh, A = {a, e, i, o, u}
Tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10, B = {1,3,5,7,9}

Đặt ký hiệu trình tạo

Ở dạng này, tập hợp được xác định bằng cách chỉ định một thuộc tính mà các phần tử của tập hợp có điểm chung. Tập hợp được mô tả là A = {x: p (x)}

Example 1 - Tập hợp {a, e, i, o, u} được viết là

A = {x: x là một nguyên âm trong bảng chữ cái tiếng Anh}

Example 2 - Tập hợp {1,3,5,7,9} được viết là

B = {x: 1 ≤ x <10 và (x% 2) ≠ 0}

Nếu một phần tử x là thành viên của bất kỳ tập S nào thì nó được ký hiệu là x S và nếu một phần tử y không phải là thành viên của tập S thì nó được ký hiệu là y∉S.

Example - Nếu S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S nhưng 1,5 ∉ S

Số lượng của một tập hợp

Tổng số của một tập hợp S, ký hiệu là | S || S |, là số phần tử của tập hợp đó. Con số này cũng được gọi là số chính. Nếu một tập hợp có vô số phần tử, thì tổng số của nó là ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Nếu có hai tập X và Y thì | X | = | Y | biểu thị hai tập X và Y có cùng một bản số. Điều này xảy ra khi số phần tử trong X đúng bằng số phần tử trong Y. Trong trường hợp này, tồn tại một hàm phân tích 'f' từ X đến Y.

| X | ≤ | Y | biểu thị rằng bản số của tập hợp X nhỏ hơn hoặc bằng bản số của tập hợp Y. Nó xảy ra khi số phần tử trong X nhỏ hơn hoặc bằng Y. Ở đây, tồn tại một hàm bất biến 'f' từ X đến Y.

| X | <| Y | biểu thị rằng bản số của tập hợp X nhỏ hơn bản số của tập hợp Y. Nó xảy ra khi số phần tử trong X ít hơn Y. Ở đây, hàm 'f' từ X đến Y là hàm không xác định nhưng không phải là hàm bijective.

Nếu | X | ≤ | Y | và | X | ≤ | Y | thì | X | = | Y | . Tập hợp X và Y thường được gọi làequivalent sets.

Các loại bộ

Bộ có thể được phân thành nhiều loại; một số trong số đó là hữu hạn, vô hạn, tập con, phổ quát, thích hợp, tập đơn, v.v.

Tập hợp hữu hạn

Một tập hợp chứa một số phần tử xác định được gọi là tập hợp hữu hạn.

Example - S = {x | x ∈ N và 70> x> 50}

Bộ vô hạn

Tập hợp chứa vô số phần tử được gọi là tập hợp vô hạn.

Example - S = {x | x ∈ N và x> 10}

Tập hợp con

Tập hợp X là tập con của tập Y (Viết là X ⊆ Y) nếu mọi phần tử của X là phần tử của tập Y.

Example 1- Cho, X = {1,2,3,4,5,6} và Y = {1,2}. Ở đây tập Y là tập con của tập X vì tất cả các phần tử của tập Y đều nằm trong tập X. Do đó, chúng ta có thể viết Y⊆X.

Example 2- Cho, X = {1,2,3} và Y = {1,2,3}. Ở đây tập Y là một tập hợp con (không phải là một tập hợp con thích hợp) của tập X vì tất cả các phần tử của tập Y đều nằm trong tập X. Do đó, chúng ta có thể viết Y⊆X.

Tập số thực

Thuật ngữ "tập hợp con thích hợp" có thể được định nghĩa là "tập hợp con của nhưng không bằng". Tập hợp X là tập con thích hợp của tập Y (Viết là X ⊂ Y) nếu mọi phần tử của X là phần tử của tập Y và | X | <| Y |.

Example- Cho, X = {1,2,3,4,5,6} và Y = {1,2}. Ở đây, tập Y ⊂ X, vì tất cả các phần tử trong Y cũng được chứa trong X và X có ít nhất một phần tử nhiều hơn tập Y.

Bộ phổ quát

Nó là một tập hợp của tất cả các yếu tố trong một ngữ cảnh hoặc ứng dụng cụ thể. Tất cả các tập hợp trong ngữ cảnh hoặc ứng dụng đó về cơ bản là tập hợp con của tập hợp phổ quát này. Tập hợp phổ quát được biểu diễn dưới dạng U.

Example- Chúng ta có thể định nghĩa U là tập hợp tất cả các loài động vật trên trái đất. Trong trường hợp này, một tập hợp tất cả các loài động vật có vú là một tập con của U, một tập hợp tất cả các loài cá là một tập con của U, một tập hợp tất cả các loài côn trùng là một tập con của U, v.v.

Tập hợp rỗng hoặc tập hợp rỗng

Một tập hợp rỗng không chứa phần tử nào. Nó được ký hiệu là Φ. Vì số phần tử trong một tập hợp rỗng là hữu hạn, nên tập hợp rỗng là một tập hợp hữu hạn. Cardinality của tập hợp rỗng hoặc tập hợp rỗng bằng không.

Example - S = {x | x ∈ N và 7 <x <8} = Φ

Bộ Singleton hoặc Bộ đơn vị

Một bộ Singleton hoặc bộ Đơn vị chỉ chứa một phần tử. Một tập hợp singleton được ký hiệu là {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Tập hợp bằng nhau

Nếu hai tập hợp chứa các phần tử giống nhau, chúng được cho là bằng nhau.

Example - Nếu A = {1,2,6} và B = {6,1,2} thì chúng bằng nhau vì mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B và mọi phần tử của tập B đều là phần tử của tập A.

Bộ tương đương

Nếu các thẻ số của hai tập hợp giống nhau, chúng được gọi là tập hợp tương đương.

Example- Nếu A = {1,2,6} và B = {16,17,22} thì chúng tương đương vì bản số của A bằng bản số của B. tức là | A | = | B | = 3

Bộ chồng chéo

Hai tập hợp có ít nhất một phần tử chung được gọi là tập hợp trùng nhau. Trong trường hợp các bộ chồng chéo -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Cho, A = {1,2,6} và B = {6,12,42}. Có một phần tử chung '6', do đó các tập hợp này là các tập hợp chồng chéo.

Bộ rời

Hai tập hợp A và B được gọi là tập rời rạc nếu chúng không có chung một phần tử. Do đó, các bộ rời rạc có các thuộc tính sau:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Cho, A = {1,2,6} và B = {7,9,14}, không có một phần tử chung nào, do đó các tập hợp này là các tập trùng nhau.

Thao tác trên Bộ cổ điển

Các phép toán tập hợp bao gồm Tập hợp liên kết, Giao điểm tập hợp, Sự khác biệt của tập hợp, Bổ sung của tập hợp và Tích Descartes.

liên hiệp

Hợp của các tập A và B (ký hiệu là A ∪ BA ∪ B) là tập hợp các phần tử nằm trong A, trong B, hoặc trong cả A và B. Do đó, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Nếu A = {10,11,12,13} và B = {13,14,15} thì A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Phần tử chung chỉ xảy ra một lần.

Ngã tư

Giao của tập hợp A và B (ký hiệu là A ∩ B) là tập hợp các phần tử nằm trong cả A và B. Do đó, A ∩ B = {x | x ∈ A VÀ x ∈ B}.

Sự khác biệt / Sự bổ sung tương đối

Tập sai của tập A và B (kí hiệu là A – B) là tập các phần tử chỉ thuộc A mà không thuộc B. Do đó, A - B = {x | x ∈ A VÀ x ∉ B}.

Example- Nếu A = {10,11,12,13} và B = {13,14,15} thì (A - B) = {10,11,12} và (B - A) = {14,15} . Ở đây, chúng ta có thể thấy (A - B) ≠ (B - A)

Sự bổ sung của một bộ

Phần bù của tập A (kí hiệu là A ′) là tập các phần tử không thuộc tập A. Do đó, A ′ = {x | x ∉ A}.

Cụ thể hơn, A ′ = (U − A) trong đó U là một tập phổ quát chứa tất cả các đối tượng.

Example - Nếu A = {x | x thuộc tập hợp các số nguyên} thì A ′ = {y | y không thuộc tập hợp các số nguyên lẻ}

Sản phẩm Descartes / Sản phẩm chéo

Tích Descartes của n số bộ A1, A2,… Một ký hiệu là A1 × A2 ... × An có thể được định nghĩa là tất cả các cặp có thứ tự có thể (x1, x2,… xn) trong đó x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Nếu chúng ta lấy hai tập A = {a, b} và B = {1,2},

Tích Descartes của A và B được viết là - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Và, tích Descartes của B và A được viết là - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}