Logic mờ - Trình làm mới mờ truyền thống

Logic, ban đầu chỉ là nghiên cứu về những gì phân biệt lập luận đúng với lập luận không chắc chắn, giờ đây đã phát triển thành một hệ thống mạnh mẽ và chặt chẽ, nhờ đó có thể phát hiện ra các tuyên bố đúng, đưa ra các tuyên bố khác đã được biết là đúng.

Logic định tính

Logic này xử lý các vị từ, là các mệnh đề chứa các biến.

Vị từ là một biểu thức của một hoặc nhiều biến được xác định trên một số miền cụ thể. Một vị từ với các biến có thể được tạo thành một mệnh đề bằng cách gán giá trị cho biến hoặc bằng cách định lượng biến.

Sau đây là một vài ví dụ về các vị từ -

Gọi E (x, y) biểu thị "x = y"
Gọi X (a, b, c) là "a + b + c = 0"
Gọi M (x, y) là "x kết hôn với y"

Logic mệnh đề

Mệnh đề là một tập hợp các câu lệnh khai báo có giá trị sự thật "true" hoặc giá trị sự thật "false". Một mệnh đề bao gồm các biến mệnh đề và các liên kết. Các biến mệnh đề được viết hoa (A, B, v.v.). Các phép nối kết nối các biến mệnh đề.

Dưới đây là một vài ví dụ về Mệnh đề -

"Man is Mortal", nó trả về giá trị sự thật "TRUE"
"12 + 9 = 3 - 2", nó trả về giá trị sự thật "FALSE"

Sau đây không phải là một Đề xuất -

"A is less than 2" - Đó là bởi vì trừ khi chúng ta đưa ra một giá trị cụ thể của A, chúng ta không thể nói là đúng hay sai.

Kết nối

Trong logic mệnh đề, chúng tôi sử dụng năm kết nối sau:

HOẶC (∨∨)
VÀ (∧∧)
Phủ định / KHÔNG (¬¬)
Hàm ý / nếu-thì (→ thường)
Nếu và chỉ khi (⇔⇔)

HOẶC (∨∨)

Phép toán OR của hai mệnh đề A và B (viết là A∨BA∨B) là đúng nếu ít nhất bất kỳ biến mệnh đề A hoặc B nào là đúng.

Bảng sự thật như sau:

A	B	A ∨ B
Thật	Thật	Thật
Thật	Sai	Thật
Sai	Thật	Thật
Sai	Sai	Sai

VÀ (∧∧)

Phép toán AND của hai mệnh đề A và B (viết là A∧BA∧B) là đúng nếu cả biến mệnh đề A và B đều đúng.

Bảng sự thật như sau:

A	B	A ∧ B
Thật	Thật	Thật
Thật	Sai	Sai
Sai	Thật	Sai
Sai	Sai	Sai

Phủ định (¬¬)

Sự phủ định của mệnh đề A (viết là ¬A¬A) là sai khi A đúng và đúng khi A sai.

Bảng sự thật như sau:

A	¬A
Thật	Sai
Sai	Thật

Hàm ý / nếu-thì (→ thường)

Một ngụ ý A → BA → B là mệnh đề “nếu A thì B”. Nếu A đúng và B sai. Các trường hợp còn lại là đúng.

Bảng sự thật như sau:

A	B	A → B
Thật	Thật	Thật
Thật	Sai	Sai
Sai	Thật	Thật
Sai	Sai	Thật

Nếu và chỉ khi (⇔⇔)

A⇔BA⇔B là liên kết logic hai điều kiện đúng khi p và q giống nhau, tức là cả hai đều sai hoặc cả hai đều đúng.

Bảng sự thật như sau:

A	B	A⇔B
Thật	Thật	Thật
Thật	Sai	Sai
Sai	Thật	Sai
Sai	Sai	Thật

Công thức được hình thành tốt

Công thức Well Formed (wff) là một vị từ chứa một trong những điều sau:

Tất cả các hằng số mệnh đề và các biến mệnh đề đều là sai.
Nếu x là biến và Y là biến thì xY và ∃xY cũng là biến.
Giá trị true và giá trị sai là sai.
Mỗi công thức nguyên tử là một wff.
Tất cả các kết nối kết nối wffs đều là wffs.

Bộ định lượng

Biến của vị từ được định lượng bằng các bộ định lượng. Có hai loại định lượng trong logic vị từ -

Bộ định lượng phổ quát
Bộ định lượng tồn tại

Bộ định lượng phổ quát

Bộ định lượng phổ quát tuyên bố rằng các tuyên bố trong phạm vi của nó đúng với mọi giá trị của biến cụ thể. Nó được biểu thị bằng ký hiệu ∀.

∀xP(x) được đọc là với mọi giá trị của x, P (x) là true.

Example- "Con người là phàm nhân" có thể được chuyển thành dạng mệnh đề ∀xP (x). Ở đây, P (x) là vị từ biểu thị rằng x là người phàm và vũ trụ của diễn ngôn đều là đàn ông.

Bộ định lượng tồn tại

Bộ định lượng hiện sinh tuyên bố rằng các câu lệnh trong phạm vi của nó đúng với một số giá trị của biến cụ thể. Nó được biểu thị bằng ký hiệu ∃.

∃xP(x) đối với một số giá trị của x được đọc là P (x) là true.

Example - "Một số người không trung thực" có thể được chuyển thành dạng mệnh đề ∃x P (x) trong đó P (x) là vị từ biểu thị x không trung thực và vũ trụ của diễn ngôn là một số người.

Bộ định lượng lồng nhau

Nếu chúng ta sử dụng một bộ định lượng xuất hiện trong phạm vi của một bộ định lượng khác, nó được gọi là bộ định lượng lồng nhau.

Example

∀ a∃bP (x, y) trong đó P (a, b) biểu thị a + b = 0
∀ a∀b∀cP (a, b, c) trong đó P (a, b) biểu thị a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)