Logic mờ - Lý thuyết tập hợp
Các tập hợp mờ có thể được coi là sự mở rộng và đơn giản hóa tổng thể của các tập hợp cổ điển. Nó có thể được hiểu tốt nhất trong bối cảnh của thành viên được thiết lập. Về cơ bản, nó cho phép thành viên một phần có nghĩa là nó chứa các phần tử có các mức độ thành viên khác nhau trong tập hợp. Từ đó, chúng ta có thể hiểu được sự khác biệt giữa tập cổ điển và tập mờ. Tập hợp cổ điển chứa các phần tử thỏa mãn các thuộc tính chính xác của thành viên trong khi tập mờ chứa các phần tử thỏa mãn các thuộc tính không chính xác của thành viên.
Khái niệm toán học
Tập mờ $ \ widetilde {A} $ trong vũ trụ thông tin $ U $ có thể được định nghĩa là một tập các cặp có thứ tự và nó có thể được biểu diễn toán học dưới dạng:
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ trong U \ right \} $$
Ở đây $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = mức độ thành viên của $ y $ in \ widetilde {A}, giả định các giá trị trong phạm vi từ 0 đến 1, tức là $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.
Biểu diễn tập mờ
Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai trường hợp của vũ trụ thông tin và hiểu cách một tập mờ có thể được biểu diễn.
Trường hợp 1
Khi vũ trụ thông tin $ U $ là rời rạc và hữu hạn -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$
$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $
Trường hợp 2
Khi vũ trụ thông tin $ U $ liên tục và vô hạn -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$
Trong cách biểu diễn trên, ký hiệu tổng thể hiện tập hợp của mỗi phần tử.
Các phép toán trên tập mờ
Có hai tập mờ $ \ widetilde {A} $ và $ \ widetilde {B} $, vũ trụ thông tin $ U $ và một phần tử của vũ trụ, các quan hệ sau biểu thị phép toán hợp, giao và bù trên tập mờ.
Union / Fuzzy 'OR'
Chúng ta hãy xem xét biểu diễn sau để hiểu cách Union/Fuzzy ‘OR’ quan hệ công việc -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Ở đây ∨ đại diện cho hoạt động 'tối đa'.
Giao điểm / Mờ 'VÀ'
Chúng ta hãy xem xét biểu diễn sau để hiểu cách Intersection/Fuzzy ‘AND’ quan hệ công việc -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Ở đây ∧ đại diện cho hoạt động 'min'.
Phần bổ sung / Mờ 'KHÔNG'
Chúng ta hãy xem xét biểu diễn sau để hiểu cách Complement/Fuzzy ‘NOT’ quan hệ công việc -
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$
Thuộc tính của tập mờ
Chúng ta hãy thảo luận về các tính chất khác nhau của các tập mờ.
Tính chất giao hoán
Có hai tập mờ $ \ widetilde {A} $ và $ \ widetilde {B} $, thuộc tính này cho biết -
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$
Bất động sản kết hợp
Có ba tập mờ $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ và $ \ widetilde {C} $, thuộc tính này cho biết -
$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$
$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$
Thuộc tính phân tán
Có ba tập mờ $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ và $ \ widetilde {C} $, thuộc tính này cho biết -
$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$
Thuộc tính lý tưởng
Đối với bất kỳ tập mờ nào $ \ widetilde {A} $, thuộc tính này cho biết -
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
Thuộc tính nhận dạng
Đối với tập mờ $ \ widetilde {A} $ và tập hợp phổ quát $ U $, thuộc tính này cho biết -
$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$
$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$
Thuộc tính bắc cầu
Có ba tập mờ $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ và $ \ widetilde {C} $, thuộc tính này cho biết -
$$ If \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$
Thuộc tính Involution
Đối với bất kỳ tập mờ nào $ \ widetilde {A} $, thuộc tính này cho biết -
$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$
Định luật De Morgan
Định luật này đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự đồng nhất và mâu thuẫn. Luật này tuyên bố -
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$