GATE Mathematik Lehrplan

Betreff: MA

Kursstruktur

Abschnitte / Einheiten	Themen
Abschnitt a	Lineare Algebra
Abschnitt b	Komplexe Analyse
Abschnitt C.	Echte Analyse
Abschnitt D.	Gewöhnliche Differentialgleichungen
Abschnitt E.	Algebra
Abschnitt F.	Funktionsanalyse
Abschnitt G.	Numerische Analyse
Abschnitt H.	Partielle Differentialgleichungen
Abschnitt I.	Topologie
Abschnitt J.	Wahrscheinlichkeit und Statistik
Abschnitt K.	Lineares Programmieren

Lehrplan

Section A: Linear Algebra

• Endlich dimensionale Vektorräume
• Lineare Transformationen und ihre Matrixdarstellungen -
  • Rank
  • Lineare Gleichungssysteme
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Minimales Polynom
  • Cayley-Hamilton-Theorem
  • Diagonalization
  • Jordanisch-kanonische Form
  • Hermitian
  • Skewhermitian
  • Einheitliche Matrizen
• Endlich dimensionale innere Produkträume -
  • Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsprozess
  • Selbstadjutierende Operatoren, bestimmte Formen

Section B: Complex Analysis

• Analytische Funktionen, konforme Abbildungen, bilineare Transformationen
• komplexe Integration -
  • Cauchys integraler Satz und Formel
  • Liouvilles Theorem
  • Maximum-Modul-Prinzip
• Nullen und Singularitäten
• Taylor und Laurent's Serie
• Restsatz und Anwendungen zur Bewertung realer Integrale

Section C: Real Analysis

• Sequenzen und Funktionsreihen -
  • Einheitliche Konvergenz
  • Potenzreihen
  • die Fourierreihe
  • Funktionen mehrerer Variablen
  • Maxima
  • Minima
• Riemann-Integration -
  • Mehrere Integrale
  • Line
  • Oberflächen- und Volumenintegrale
  • Theoreme von grün
  • Stokes
  • Gauss
• Metrische Räume -
  • Compactness
  • Completeness
  • Weierstrass-Approximationssatz
• Lebesgue Maßnahme -
  • Messbare Funktionen
• Lebesgue Integral -
  • Fatous Lemma
  • Dominierter Konvergenzsatz

Section D: Ordinary Differential Equations

• Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung -

  • Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Anfangswertprobleme

  • Systeme linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung

  • Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

• Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten

• Methode der Laplace-Transformationen zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, Reihenlösungen (Potenzreihen, Frobenius-Methode)

• Legendre- und Bessel-Funktionen und ihre orthogonalen Eigenschaften

Section E: Algebra

• Gruppen, Untergruppen, normale Untergruppen, Quotientengruppen und Homomorphismus-Theoreme

• Automorphisms

• Zyklische Gruppen und Permutationsgruppen

• Sylows Theoreme und ihre Anwendungen

• Ringe, Ideale, Prim- und Maximalideale, Quotientenringe, eindeutige Faktorisierungsdomänen, prinzipielle Idealdomänen, euklidische Domänen, Polynomringe und Irreduzibilitätskriterien

• Felder, endliche Felder und Felderweiterungen

Section F: Functional Analysis

• Normierte lineare Räume
• Banach Räume
• Hahn-Banach-Erweiterungssatz
• Offene Mapping- und Closed-Graph-Theoreme
• Prinzip der einheitlichen Begrenztheit
• Innenprodukträume
• Hilbert Räume
• Orthonormale Basen
• Riesz-Repräsentationssatz
• Begrenzte lineare Operatoren

Section G: Numerical Analysis

• Numerische Lösung algebraischer und transzendentaler Gleichungen -
  • Bisection
  • Sekantenmethode
  • Newton-Raphson-Methode
  • Festpunktiteration
• Interpolation -
  • Fehler der Polynominterpolation
  • Lagrange, Newton-Interpolationen
• Numerische Differenzierung
• Numerische Integration -
  • Trapez- und Simpson-Regeln
• Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme -
  • Direkte Methoden (Gauß-Eliminierung, Lu-Zerlegung)
• Iterative Methoden (Jacobi und Gauss-Seidel)
• Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
• Anfangswertprobleme -
  • Eulers Methode
  • Runge-Kutta-Methoden der Ordnung 2

Section H: Partial Differential Equations

• Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung -

  • Methode der Eigenschaften

• Lineare Gleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen und ihre Klassifizierung

• Cauchy-, Dirichlet- und Neumann-Probleme

• Lösungen von Laplace, Welle in zweidimensionalen kartesischen Koordinaten, innere und äußere Dirichlet-Probleme in Polarkoordinaten

• Methode zur Trennung von Variablen zur Lösung von Wellen- und Diffusionsgleichungen in einer Raumvariablen

• Fourierreihen- und Fouriertransformations- und Laplace-Transformationsmethoden für Lösungen für die obigen Gleichungen

Section I: Topology

• Grundbegriffe der Topologie
• Bases
• Subbases
• Subraumtopologie
• Auftragstopologie
• Produkttopologie
• Connectedness
• Compactness
• Countability
• Trennungsaxiome
• Urysohns Deckspelze

Section J: Probability and Statistics

• Wahrscheinlichkeitsraum, bedingte Wahrscheinlichkeit, Bayes-Theorem, Unabhängigkeit, Zufall

• Variablen, gemeinsame und bedingte Verteilungen, Standardwahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Eigenschaften (diskrete Uniform, Binomial, Poisson, Geometrisch, Negatives Binomial, Normal, Exponential, Gamma, Kontinuierliche Uniform, Bivariate Normal, Multinomial), Erwartung, bedingte Erwartung, Momente

• Schwaches und starkes Gesetz großer Zahlen, zentraler Grenzwertsatz

• Stichprobenverteilungen, UMVU-Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzer

• Intervallschätzung

• Testen von Hypothesen, standardmäßige parametrische Tests basierend auf Normalverteilungen

• Einfache lineare Regression

Section H: Linear programming

• Lineares Programmierproblem und seine Formulierung, konvexe Mengen und ihre Eigenschaften, grafische Methode, realisierbare Grundlösung, Simplex-Methode, Big-M- und Zweiphasenmethode

• Unmögliche und unbegrenzte LPPs, alternative Optima

• Duale Problem- und Dualitätssätze, Dual-Simplex-Methode und ihre Anwendung in der Post-Optimalitäts-Analyse

• Ausgeglichene und unausgeglichene Transportprobleme, Vogelsche Näherungsmethode zur Lösung von Transportproblemen

• Ungarische Methode zur Lösung von Zuordnungsproblemen

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