IMO 1998 - Kombinatorik

Question

Saya mencoba masalah IMO Combinatorics ini $1998$ P2 yang seperti ini:

Dalam sebuah kompetisi, ada $m$ kontestan dan $n$ hakim, dimana $n \geq 3$adalah bilangan bulat ganjil. Setiap juri menilai setiap kontestan sebagai "lulus" atau "gagal". Seharusnya$k$ adalah angka yang, untuk dua juri, peringkat mereka paling banyak sama $k$kontestan. Buktikan itu$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Saya benar-benar bingung bagaimana memulainya, bisakah Anda memberi saya petunjuk?

Answer 1

Pertimbangkan jumlah kombinasi $(\{j_1, j_2\},c)$, dimana $\{j_1, j_2\}$ adalah sepasang juri yang berbeda, dan $c$adalah kontestan yang mereka sepakati. Anda dapat mencapai kuantitas ini dengan dua cara:

1. Jumlah kontestan, jumlah pasangan juri yang setuju.

2. Jumlah pasangan juri, jumlah kontestan yang mereka sepakati.

Kemudian kuantitas yang dijumlahkan dalam 1. dapat dibatasi di bawah ini dengan ekspresi yang melibatkan $n$ (ingat $n$ ganjil), sedangkan kuantitas yang dijumlahkan 2. mungkin dibatasi oleh $k$. Menggabungkan menghasilkan ketidaksetaraan yang diinginkan.