離散数学-関数

A Functionセットの各要素に、関連するセットの1つの要素だけを割り当てます。関数は、アルゴリズムの計算の複雑さの表現、オブジェクトのカウント、シーケンスと文字列の研究など、さまざまな分野でアプリケーションを見つけます。このパートの第3章と最後の章では、関数の重要な側面に焦点を当てています。

機能-定義

関数またはマッピング（$ f：X \ rightarrow Y $として定義）は、あるセットXの要素から別のセットYの要素への関係です（XとYは空でないセットです）。Xは定義域と呼ばれ、Yは関数「f」の終域と呼ばれます。

関数 'f'は、XとYの関係であり、$ x \ in X $ごとに、$（x、y）\ in R $のような一意の$ y \ in Y $が存在します。「x」はプレイメージと呼ばれ、「y」は関数fのイメージと呼ばれます。

関数は、1対1または多対1にすることができますが、1対多にすることはできません。

単射/ 1対1の機能

関数$ f：\ rightarrow B $は、$ b \ in B $ごとに、$ f（s）= t $となる最大1つの$ a \ in A $が存在する場合、単射または1対1の関数です。。

これは機能を意味します f $ a_1 \ ne a_2 $が$ f（a1）\ ne f（a2）$を意味する場合、単射です。

例

$ f：N \ rightarrow N、f（x）= 5x $は単射です。
$ f：N \ rightarrow N、f（x）= x ^ 2 $は単射です。
$ f：R \ rightarrow R、f（x）= x ^ 2 $は$（-x）^ 2 = x ^ 2 $のように単射ではありません

全射/全射

関数$ f：fの画像がその範囲に等しい場合、\ rightarrow B $は全射です（上に）。同様に、$ b \ in B $ごとに、$ f（a）= b $となるような$ a \ in A $が存在します。これは、Bの任意のyに対して、$ y = f（x）$となるようなxがAに存在することを意味します。

例

$ f：N \ rightarrow N、f（x）= x + 2 $は全射です。
$ f：R \ rightarrow R、f（x）= x ^ 2 $は、二乗が負の実数を見つけることができないため、全射ではありません。

全単射/ 1対1の特派員

関数$ f：\ rightarrow B $は、次の場合に限り、全単射または1対1の特派員です。 f 単射と全射の両方です。

問題

$ f（x）= 2x – 3 $で定義される関数$ f：R \ rightarrow R $が全単射関数であることを証明します。

Explanation −この関数が単射と全射の両方であることを証明する必要があります。

$ f（x_1）= f（x_2）$の場合、$ 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $であり、$ x_1 = x_2 $を意味します。

したがって、fは injective。

ここでは、$ 2x – 3 = y $

したがって、$ x =（y + 5）/ 3 $はRに属し、$ f（x）= y $です。

したがって、fは surjective。

以来 f 両方 surjective そして injective、と言えます f です bijective。

関数の逆関数

ザ・ inverse 1対1の対応する関数$ f：A \ rightarrow B $は、次のプロパティを保持する関数$ g：B \ rightarrow A $です。

$ f（x）= y \ Leftrightarrow g（y）= x $

関数fが呼び出されます invertible、その逆関数gが存在する場合。

例

関数$ f：Z \ rightarrow Z、f（x）= x + 5 $は、逆関数$ g：Z \ rightarrow Z、g（x）= x-5 $を持っているため、反転可能です。
関数$ f：Z \ rightarrow Z、f（x）= x ^ 2 $は、$（-x）^ 2 = x ^ 2 $のように1対1ではないため、反転できません。