離散数学-推論規則
私たちがすでに真実を知っているステートメントから新しいステートメントを推測するには、 Rules of Inference 使用されています。
推論規則とは何ですか？
数理論理学は、論理的な証明によく使用されます。証明は、数学的なステートメントの真理値を決定する有効な引数です。
引数は一連のステートメントです。最後のステートメントは結論であり、その前のすべてのステートメントは前提（または仮説）と呼ばれます。記号「$ \ therefore $」（したがって読む）は、結論の前に配置されます。有効な議論は、前提の真理値から結論が続くものです。
推論規則は、すでに持っているステートメントから有効な引数を作成するためのテンプレートまたはガイドラインを提供します。
推論規則の表
| 推論規則 | 名前 | 推論規則 | 名前 |
|---|---|---|---|
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \したがって、P \ lor Q \ end {matrix} $$ |
添加 |
$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$ |
選言三段論法 |
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \したがって、P \ land Q \ end {matrix} $$ |
接続詞 |
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \したがって、P \ rightarrow R \ end {matrix} $$ |
仮言三段論法 |
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \したがって、P \ end {matrix} $$ |
簡素化 |
$$ \ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ P \ lor R \\ \ hline \したがって、Q \ lor S \ end {matrix} $$ |
構成的両刀論 |
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$ |
モーダスポネンス |
$$ \ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$ |
破壊的なジレンマ |
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ end {matrix} $$ |
モーダストレンス |
添加
Pが前提である場合、加算ルールを使用して$ P \ lor Q $を導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \したがって、P \ lor Q \ end {matrix} $$
例
Pを命題とすると、「彼は一生懸命勉強する」というのは本当です
したがって、「彼は非常に一生懸命勉強するか、非常に悪い学生です。」ここでQは「彼は非常に悪い学生です」という命題です。
接続詞
PとQが2つの前提である場合、接続詞ルールを使用して$ P \ land Q $を導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \したがって、P \ land Q \ end {matrix} $$
例
P −「彼は一生懸命勉強している」
Q −「彼はクラスで最高の男の子です」
したがって、「彼は一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」
簡素化
$ P \ land Q $が前提である場合、単純化ルールを使用してPを導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \したがって、P \ end {matrix} $$
例
「彼は一生懸命勉強していて、クラスで最高の男の子です」、$ P \ land Q $
したがって、「彼は一生懸命勉強します」
モーダスポネンス
Pと$ P \ rightarrow Q $が2つの前提である場合、モーダスポネンスを使用してQを導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$
例
「パスワードをお持ちの場合は、Facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $
「あなたはパスワードを持っています」、P
したがって、「Facebookにログオンできます」
モーダストレンス
$ P \ rightarrow Q $と$ \ lnot Q $が2つの前提である場合、ModusTollensを使用して$ \ lnot P $を導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ end {matrix} $$
例
「パスワードをお持ちの場合は、Facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $
「Facebookにログオンできません」、$ \ lnot Q $
したがって、「パスワードがありません」
選言三段論法
$ \ lnot P $と$ P \ lor Q $が2つの前提である場合、選言三段論法を使用してQを導出できます。
$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$
例
「アイスクリームはバニラ味ではありません」、$ \ lnot P $
「アイスクリームはバニラ味かチョコレート味のどちらかです」、$ P \ lor Q $
したがって、「アイスクリームはチョコレート風味です」
仮言三段論法
$ P \ rightarrow Q $と$ Q \ rightarrow R $が2つの前提である場合、仮言三段論法を使用して$ P \ rightarrow R $を導出できます。
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \したがって、P \ rightarrow R \ end {matrix} $$
例
「雨が降ったら学校には行かない」、$ P \ rightarrow Q $
「学校に行かなければ、宿題をする必要はありません」、$ Q \ rightarrow R $
したがって、「雨が降れば宿題は必要ありません」
構成的両刀論
$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$と$ P \ lor R $が2つの前提である場合、構成的両刀論を使用して$ Q \ lor S $を導出できます。
$$ \ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ P \ lor R \\ \ hline \したがって、Q \ lor S \ end {matrix} $$
例
「雨が降ったら休みます」、$（P \ rightarrow Q）$
「外が暑いなら、シャワーを浴びに行きます」、$（R \ rightarrow S）$
「雨が降るか、外が暑いか」、$ P \ lor R $
したがって、「私は休暇を取るか、シャワーを浴びに行きます」
破壊的なジレンマ
$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$と$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $が2つの前提である場合、破壊的なジレンマを使用して$ \ lnot P \ lor \ lnot R $を導出できます。
$$ \ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$
例
「雨が降ったら休みます」、$（P \ rightarrow Q）$
「外が暑いなら、シャワーを浴びに行きます」、$（R \ rightarrow S）$
「私は休暇を取らないか、シャワーを浴びに行きません」、$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $
したがって、「雨が降らないか、外が暑くない」