離散数学-推論規則

私たちがすでに真実を知っているステートメントから新しいステートメントを推測するには、 Rules of Inference 使用されています。

推論規則とは何ですか?

数理論理学は、論理的な証明によく使用されます。証明は、数学的なステートメントの真理値を決定する有効な引数です。

引数は一連のステートメントです。最後のステートメントは結論であり、その前のすべてのステートメントは前提(または仮説)と呼ばれます。記号「$ \ therefore $」(したがって読む)は、結論の前に配置されます。有効な議論は、前提の真理値から結論が続くものです。

推論規則は、すでに持っているステートメントから有効な引数を作成するためのテンプレートまたはガイドラインを提供します。

推論規則の表

推論規則 名前 推論規則 名前

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \したがって、P \ lor Q \ end {matrix} $$

添加

$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$

選言三段論法

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \したがって、P \ land Q \ end {matrix} $$

接続詞

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \したがって、P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

仮言三段論法

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \したがって、P \ end {matrix} $$

簡素化

$$ \ begin {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ P \ lor R \\ \ hline \したがって、Q \ lor S \ end {matrix} $$

構成的両刀論

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$

モーダスポネンス

$$ \ begin {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

破壊的なジレンマ

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ end {matrix} $$

モーダストレンス

添加

Pが前提である場合、加算ルールを使用して$ P \ lor Q $を導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \したがって、P \ lor Q \ end {matrix} $$

Pを命題とすると、「彼は一生懸命勉強する」というのは本当です

したがって、「彼は非常に一生懸命勉強するか、非常に悪い学生です。」ここでQは「彼は非常に悪い学生です」という命題です。

接続詞

PとQが2つの前提である場合、接続詞ルールを使用して$ P \ land Q $を導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \したがって、P \ land Q \ end {matrix} $$

P −「彼は一生懸命勉強している」

Q −「彼はクラスで最高の男の子です」

したがって、「彼は一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」

簡素化

$ P \ land Q $が前提である場合、単純化ルールを使用してPを導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \したがって、P \ end {matrix} $$

「彼は一生懸命勉強していて、クラスで最高の男の子です」、$ P \ land Q $

したがって、「彼は一生懸命勉強します」

モーダスポネンス

Pと$ P \ rightarrow Q $が2つの前提である場合、モーダスポネンスを使用してQを導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$

「パスワードをお持ちの場合は、Facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「あなたはパスワードを持っています」、P

したがって、「Facebookにログオンできます」

モーダストレンス

$ P \ rightarrow Q $と$ \ lnot Q $が2つの前提である場合、ModusTollensを使用して$ \ lnot P $を導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ end {matrix} $$

「パスワードをお持ちの場合は、Facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「Facebookにログオンできません」、$ \ lnot Q $

したがって、「パスワードがありません」

選言三段論法

$ \ lnot P $と$ P \ lor Q $が2つの前提である場合、選言三段論法を使用してQを導出できます。

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \したがって、Q \ end {matrix} $$

「アイスクリームはバニラ味ではありません」、$ \ lnot P $

「アイスクリームはバニラ味かチョコレート味のどちらかです」、$ P \ lor Q $

したがって、「アイスクリームはチョコレート風味です」

仮言三段論法

$ P \ rightarrow Q $と$ Q \ rightarrow R $が2つの前提である場合、仮言三段論法を使用して$ P \ rightarrow R $を導出できます。

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \したがって、P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

「雨が降ったら学校には行かない」、$ P \ rightarrow Q $

「学校に行かなければ、宿題をする必要はありません」、$ Q \ rightarrow R $

したがって、「雨が降れば宿題は必要ありません」

構成的両刀論

$(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)$と$ P \ lor R $が2つの前提である場合、構成的両刀論を使用して$ Q \ lor S $を導出できます。

$$ \ begin {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ P \ lor R \\ \ hline \したがって、Q \ lor S \ end {matrix} $$

「雨が降ったら休みます」、$(P \ rightarrow Q)$

「外が暑いなら、シャワーを浴びに行きます」、$(R \ rightarrow S)$

「雨が降るか、外が暑いか」、$ P \ lor R $

したがって、「私は休暇を取るか、シャワーを浴びに行きます」

破壊的なジレンマ

$(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)$と$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $が2つの前提である場合、破壊的なジレンマを使用して$ \ lnot P \ lor \ lnot R $を導出できます。

$$ \ begin {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \したがって、\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

「雨が降ったら休みます」、$(P \ rightarrow Q)$

「外が暑いなら、シャワーを浴びに行きます」、$(R \ rightarrow S)$

「私は休暇を取らないか、シャワーを浴びに行きません」、$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

したがって、「雨が降らないか、外が暑くない」