離散数学-確率

カウントの概念に密接に関連しているのは確率です。カードゲーム、スロットマシン、宝くじなど、運が左右するゲームの結果を推測しようとすることがよくあります。つまり、特定の結果が得られる可能性または確率を見つけようとします。

Probabilityイベントの発生の可能性を見つけることとして概念化することができます。数学的には、それはランダムプロセスとその結果の研究です。確率の法則は、遺伝学、天気予報、世論調査、株式市場などのさまざまな分野に広く適用できます。

基本概念

確率論は、偶然に関する数学の問題を扱っていた2人のフランスの数学者、ブレーズパスカルとピエールドフェルマーによって17世紀に発明されました。

確率の詳細に進む前に、いくつかの定義の概念を理解しましょう。

Random Experiment−考えられるすべての結果がわかっていて、正確な出力を事前に予測できない実験は、ランダム実験と呼ばれます。公正なコインを投げることは、ランダムな実験の一例です。

Sample Space−実験を行う場合、考えられるすべての結果の集合Sはサンプル空間と呼ばれます。コインを投げると、サンプル空間$ S = \ left \ {H、T \ right \} $

Event−サンプル空間のサブセットはイベントと呼ばれます。コインを投げた後、頭を上にするのはイベントです。

「確率」という言葉は、特定のイベントが発生する可能性を意味します。私たちが言える最善のことは、確率の概念を使用して、それらが発生する可能性がどれほどあるかです。

$ Probability \：of \：occurence \：of \：an \：event = \ frac {Total \：number \：of \：favourable \：outcome} {Total \：number \：of \：Outcomes} $

イベントの発生は0％から100％の間で変化するため、確率は0から1の間で変化します。

確率を見つけるための手順

ステップ1-実験のすべての可能な結果を計算します。

ステップ2-実験の好ましい結果の数を計算します。

ステップ3-対応する確率式を適用します。

コインを投げる

コインが投げられた場合、2つの可能な結果があります-ヘッド$（H）$またはテール$（T）$

したがって、結果の総数= 2

したがって、ヘッド$（H）$を上に置く確率は1/2であり、テール$（T）$を上に置く確率は1/2です。

サイコロを投げる

サイコロが投げられたとき、6つの可能な結果が一番上にある可能性があります-$ 1、2、3、4、5、6 $。

いずれかの数字の確率は1/6です

偶数になる確率は3/6 = 1/2

奇数になる確率は3/6 = 1/2

デッキからカードを取る

52枚のカードのデッキから、1枚のカードが選ばれた場合、エースが引かれる確率と、ダイアモンドが引かれる確率を見つけます。

考えられる結果の総数-52

エースであることの結果− 4

エースになる確率= 4/52 = 1/13

ダイヤモンドである確率= 13/52 = 1/4

確率の公理

イベントの確率は常に0から1まで変化します。$ [0 \ leq P（x）\ leq 1] $
不可能なイベントの場合、確率は0であり、特定のイベントの場合、確率は1です。
あるイベントの発生が別のイベントの影響を受けない場合、それらは相互に排他的または互いに素であると呼ばれます。

$ A_1、A_2 .... A_n $が相互に排他的/分離したイベントである場合、$ P（A_i \ cap A_j）= \ emptyset $ for $ i \ ne j $および$ P（A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n）= P（A_1）+ P（A_2）+ ..... P（A_n）$

確率の特性

補完的な2つのイベント$ x $と$ \ overline {x} $がある場合、補完的なイベントの確率は-です。

$$ p（\ overline {x}）= 1-p（x）$$
2つの非ばらばらのイベントAとBの場合、2つのイベントの和集合の確率-

$ P（A \ cup B）= P（A）+ P（B）$
イベントAが別のイベントBのサブセット（つまり、$ A \ subset B $）である場合、Aの確率はBの確率以下です。したがって、$ A \ subset B $は$ P（A ）\ leq p（B）$

条件付き確率

イベントBの条件付き確率は、イベントAがすでに発生している場合にイベントが発生する確率です。これは$ P（B | A）$と書かれています。

数学的に-$ P（B | A）= P（A \ cap B）/ P（A）$

イベントAとBが相互に排他的である場合、イベントAの後のイベントBの条件付き確率は、$ P（B）$であるイベントBの確率になります。

Problem 1

国では、すべてのティーンエイジャーの50％が自転車を所有し、すべてのティーンエイジャーの30％が自転車と自転車を所有しています。10代の若者が自転車を所有しているとすると、10代の若者が自転車を所有する確率はどれくらいですか？

Solution

Aは10代の若者が自転車だけを所有しているイベントであり、Bは10代の若者が自転車だけを所有しているイベントであると仮定します。

したがって、与えられた問題から$ P（A）= 50/100 = 0.5 $および$ P（A \ cap B）= 30/100 = 0.3 $となります。

$ P（B | A）= P（A \ cap B）/ P（A）= 0.3 / 0.5 = 0.6 $

したがって、ティーンエイジャーが自転車を所有している場合、ティーンエイジャーが自転車を所有している確率は60％です。

Problem 2

クラスでは、全生徒の50％がクリケットをプレイし、全生徒の25％がクリケットとバレーボールをプレイします。学生がクリケットをする場合、学生がバレーボールをする確率はどれくらいですか？

Solution

Aはクリケットのみをプレイする学生のイベントであり、Bはバレーボールのみをプレイする学生のイベントであると仮定します。

したがって、与えられた問題から$ P（A）= 50/100 = 0.5 $および$ P（A \ cap B）= 25/100 = 0.25 $となります。

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0.25 / 0.5 = 0.5 $

したがって、学生がクリケットをする場合、学生がバレーボールをする確率は50％です。

Problem 3

6台の良いラップトップと3台の欠陥のあるラップトップが混同されています。欠陥のあるラップトップを見つけるために、それらすべてがランダムに1つずつテストされます。最初の2つのピックで欠陥のあるラップトップの両方を見つける確率はどれくらいですか？

Solution

Aを最初のテストで欠陥のあるラップトップを見つけたイベントとし、Bを2番目のテストで欠陥のあるラップトップを見つけたイベントとします。

したがって、$ P（A \ cap B）= P（A）P（B | A）= 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

ベイズの定理

Theorem− AとBが2つの相互に排他的なイベントであり、$ P（A）$がAの確率であり、$ P（B）$がBの確率である場合、$ P（A | B）$は与えられたAの確率です。そのBは本当です。$ P（B | A）$は、Aが真である場合のBの確率であり、ベイズの定理は次のように述べています。

$$ P（A | B）= \ frac {P（B | A）P（A）} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P（B | Ai）P（Ai）} $$

ベイズの定理の適用

サンプル空間のすべてのイベントが相互に排他的なイベントである状況。
$ A_i $ごとに$ P（A_i \ cap B）$、または$ A_i $ごとに$ P（A_i）$と$ P（B | A_i）$のいずれかがわかっている状況。

Problem

3つのペンスタンドを考えてみましょう。最初のペンスタンドには、2本の赤いペンと3本の青いペンが含まれています。2番目のペンには3本の赤いペンと2本の青いペンがあります。3番目のペンには4本の赤いペンと1本の青いペンがあります。各ペンスタンドが選択される確率は同じです。1本のペンがランダムに描かれた場合、それが赤いペンである確率はどのくらいですか？

Solution

$ A_i $を、i^番目のペンスタンドが選択されたイベントとします。

ここで、i = 1,2,3です。

ペンスタンドを選択する確率は等しいので、$ P（A_i）= 1/3 $

赤ペンが描かれたイベントをBとします。

最初のペンスタンドの5本のペンの中から赤いペンが選ばれる確率。

$ P（B | A_1）= 2/5 $

2番目のペンスタンドの5本のペンの中から赤いペンが選択される確率。

$ P（B | A_2）= 3/5 $

3番目のペンスタンドの5本のペンの中から赤いペンが選択される確率。

$ P（B | A_3）= 4/5 $

ベイズの定理によると、