演算子と仮説
群論は数学と抽象代数の一分野であり、次のような名前の代数的構造を定義します。 group。一般に、グループは、要素のセットと、そのセットの任意の2つの要素に対する操作で構成され、そのセットの3番目の要素を形成します。
1854年に、英国の数学者であるアーサーケイリーは、初めてグループの現代的な定義を与えました。
「それらすべてが異なる記号のセットであり、それらのいずれか2つの積（順序に関係なく）、またはそれらのいずれか1つがそれ自体に含まれる積は、グループと呼ばれます。 。これらの記号は一般に変換可能[可換]ではありませんが、連想的です。」
この章では、 operators and postulates 集合論、群論、ブール代数の基礎を形成します。
数学システムの要素のセットは、演算子のセットといくつかの仮定で定義できます。
A binary operator要素のセットで定義されるのは、要素の各ペアにそのセットからの一意の要素を割り当てるルールです。たとえば、集合$ A = \ lbrace 1、2、3、4、5 \ rbrace $が与えられた場合、$ \ otimes $は、指定されている場合、演算$ c = a \ otimes b $の二項演算子であると言えます。 $ a、b、c \ in A $のように、$（a、b）$のペアのcを見つけるためのルール。
ザ・ postulates数学的システムのは、ルールを推論することができる基本的な仮定を形成します。仮説は-
閉鎖
セット内の要素のすべてのペアについて、オペレーターがそのセットから一意の要素を見つけた場合、セットは二項演算子に関して閉じられます。
例
$ A = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とします
このセットは、二項演算子の下で$（\ ast）$に閉じられます。これは、演算$ c = a \ ast b $の場合、任意の$ a、b \ in A $の場合、積$ c \ in A $であるためです。
二項演算子divide $（\ div）$の下では、セットは閉じられません。これは、演算$ c = a \ div b $の場合、任意の$ a、b \ in A $の場合、積cがセットに含まれていない可能性があるためです。 A. $ a = 7、b = 2 $の場合、$ c = 3.5 $です。ここでは$ a、b \ in A $ですが、$ c \ notin A $です。
結合法則
セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合、結合法則です。
$（x \ otimes y）\ otimes z = x \ otimes（y \ otimes z）$、ここで$ x、y、z \ in A $
例
$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とします
演算子と$（+）$は、任意の3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$（x + y）+ z = x +（y + z）$が成り立つため、結合法則です。
演算子から$（-）$を引いたものは、結合法則ではありません。
$$（x --y）-z \ ne x-（y-z）$$
可換法則
セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合に可換です。
$ x \ otimes y = y \ otimes x $、ここで$ x、y \ in A $
例
$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とします
演算子と$（+）$は可換です。これは、任意の2つの要素$ x、y \ in A $に対して、プロパティ$ x + y = y + x $が成り立つためです。
演算子から$（-）$を引いたものは、結合法則ではありません。
$$ x-y \ ne y-x $$
分配法則
セットAの2つの二項演算子$ \ otimes $と$ \ circledast $は、次のプロパティが成り立つ場合、演算子$ \ circledast $に分配されます。
$ x \ otimes（y \ circledast z）=（x \ otimes y）\ circledast（x \ otimes z）$、ここで$ x、y、z \ in A $
例
$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とします
$（*）$とplus $（+）$への演算子は、演算子+よりも分配的です。これは、任意の3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$ x *（y + z）=（x * y）+（x * z）$が成り立ちます。
ただし、これらの演算子は$ * $を超えて分配されません。
$$ x +（y * z）\ ne（x + y）*（x + z）$$
単位元
集合Aは、Aの二項演算$ \ otimes $に関して、次のプロパティが成り立つような要素$ e \ in A $が存在する場合、単位元を持ちます。
$ e \ otimes x = x \ otimes e $、ここで$ x \ in A $
例
$ Z = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とします
要素1は、操作$ * $に関する単位元です。これは、任意の要素$ x \ in Z $に対して、
$$ 1 * x = x * 1 $$
一方、$（-）$を引いた演算の単位元はありません。
逆
集合Aが二項演算子$ \ otimes $に関して単位元$ e $を持っている場合、すべての要素$ x \ in A $に対して、別の要素$ y \ in A $が存在するときはいつでも逆であると言われます。 、次のプロパティが成り立つように-
$$ x \ otimes y = e $$
例
$ A = \ lbrace \ dots -4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とします。
演算に$（+）$と$ e = 0 $を加えた場合、$ x +（x）= 0 $であるため、要素xの逆数は$（-x）$になります。
ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則は、補集合の観点から、2つ（またはそれ以上）の集合の和集合と共通部分の間の変換のペアを提供します。法則は-
$$（A \ cup B） '= A' \ cap B '$$
$$（A \ cap B） '= A' \ cup B '$$
例
$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace、B = \ lbrace 1、3、5、7 \ rbrace $、および
ユニバーサルセット$ U = \ lbrace 1、2、3、\ dots、9、10 \ rbrace $
$ A '= \ lbrace 5、6、7、8、9、10 \ rbrace $
$ B '= \ lbrace 2、4、6、8、9、10 \ rbrace $
$ A \ cup B = \ lbrace 1、2、3、4、5、7 \ rbrace $
$ A \ cap B = \ lbrace 1、3 \ rbrace $
$（A \ cup B） '= \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $
$ A '\ cap B' = \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $
したがって、$（A \ cup B） '= A' \ cap B '$であることがわかります。
$（A \ cap B） '= \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $
$ A '\ cup B' = \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $
したがって、$（A \ cap B） '= A' \ cup B '$であることがわかります。