이산 수학-함수

ㅏ Function세트의 각 요소에 관련 세트의 정확히 하나의 요소를 할당합니다. 함수는 알고리즘의 계산 복잡성 표현, 개체 계산, 시퀀스 및 문자열 연구와 같은 다양한 분야에서 응용 프로그램을 찾습니다. 이 파트의 세 번째 및 마지막 장에서는 기능의 중요한 측면을 강조합니다.

기능-정의

함수 또는 매핑 ($ f : X \ rightarrow Y $로 정의 됨)은 한 세트 X의 요소에서 다른 세트 Y의 요소로의 관계입니다 (X와 Y는 비어 있지 않은 세트입니다). X는 Domain, Y는 함수 'f'의 Codomain이라고합니다.

함수 'f'는 각 $ x \ in X $에 대해 $ (x, y) \ in R $와 같은 고유 한 $ y \ in Y $가 존재하는 X와 Y의 관계입니다. 'x'는 사전 이미지라고하고 'y'는 함수 f의 이미지라고합니다.

함수는 일대일 또는 다대 일일 수 있지만 일대 다일 수는 없습니다.

인젝 티브 / 일대일 기능

A 함수 $ f : A \ rightarrow B $는 $ b \ in B $마다 $ f (s) = t $가되는 $ a \ in A $가 최대 하나만 존재하는 경우 인젝 티브 또는 일대일 함수입니다. .

이것은 기능을 의미합니다 f $ a_1 \ ne a_2 $가 $ f (a1) \ ne f (a2) $를 암시하면 주입식입니다.

예

$ f : N \ rightarrow N, f (x) = 5x $는 주 사용입니다.
$ f : N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $는 주 사용입니다.
$ f : R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $는 $ (-x) ^ 2 = x ^ 2 $처럼 주 사용이 아닙니다.

Surjective / Onto 기능

함수 $ f : A \ rightarrow B $는 f의 이미지가 범위와 같으면 추측 적입니다. 마찬가지로, $ b \ in B $마다 $ f (a) = b $와 같은 $ a \ in A $가 존재합니다. 이것은 B의 y에 대해 $ y = f (x) $와 같은 A에 x가 있음을 의미합니다.

예

$ f : N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $는 추측입니다.
$ f : R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $는 제곱이 음수 인 실수를 찾을 수 없기 때문에 추측이 아닙니다.

Bijective / 일대일 특파원

함수 $ f : A \ rightarrow B $는 다음과 같은 경우에만 bijective 또는 일대일 대응 자입니다. f 주입 형과 추측 형입니다.

문제

$ f : R \ rightarrow R $로 정의 된 $ f (x) = 2x – 3 $ 함수가 bijective 함수임을 증명하십시오.

Explanation − 우리는이 기능이 주 사용적일뿐만 아니라 추측적임을 증명해야합니다.

$ f (x_1) = f (x_2) $이면 $ 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $이고 $ x_1 = x_2 $를 의미합니다.

따라서 f는 injective.

여기에서 $ 2x – 3 = y $

따라서 R에 속하는 $ x = (y + 5) / 3 $이고 $ f (x) = y $입니다.

따라서 f는 surjective.

이후 f 둘 다 surjective 과 injective, 우리는 말할 수있다 f 이다 bijective.

함수의 역

그만큼 inverse 일대일 대응 함수 $ f : A \ rightarrow B $, 함수 $ g : B \ rightarrow A $, 다음 속성 보유 −

$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $

함수 f가 호출됩니다. invertible, 역함수 g가 존재하는 경우.

예

A 함수 $ f : Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $는 역함수 $ g : Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $를 가지므로 반전이 가능합니다.
A 함수 $ f : Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $는 $ (-x) ^ 2 = x ^ 2 $처럼 일대일이 아니기 때문에 반전 할 수 없습니다.