이산 수학-확률

계산의 개념과 밀접한 관련이있는 것은 확률입니다. 우리는 종종 카드 게임, 슬롯 머신, 복권과 같은 우연한 게임의 결과를 추측하려고합니다. 즉, 특정 결과를 얻을 가능성이나 확률을 찾으려고합니다.

Probability이벤트 발생 가능성을 찾는 것으로 개념화 할 수 있습니다. 수학적으로는 무작위 과정과 그 결과에 대한 연구입니다. 확률 법칙은 유전학, 일기 예보, 여론 조사, 주식 시장 등과 같은 다양한 분야에서 광범위하게 적용됩니다.

기본 컨셉

확률 이론은 우연에 관한 수학적 문제를 다루는 두 명의 프랑스 수학자 Blaise Pascal과 Pierre de Fermat에 의해 17 세기에 발명되었습니다.

확률에 대한 세부 사항을 진행하기 전에 몇 가지 정의에 대한 개념을 살펴 보겠습니다.

Random Experiment− 가능한 모든 결과를 알고 정확한 결과를 미리 예측할 수없는 실험을 무작위 실험이라고합니다. 공정한 동전 던지기는 무작위 실험의 예입니다.

Sample Space− 실험을 수행 할 때 가능한 모든 결과의 집합 S를 샘플 공간이라고합니다. 동전을 던지면 샘플 공간 $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event− 샘플 공간의 하위 집합을 이벤트라고합니다. 동전을 던진 후 머리가 정상에 오르는 것은 이벤트입니다.

"확률"이라는 단어는 특정 이벤트가 발생할 가능성을 의미합니다. 우리가 말할 수있는 최선은 확률이라는 개념을 사용하여 발생할 가능성이 얼마나되는지입니다.

$ Probability \ : of \ : occurence \ : of \ : an \ : event = \ frac {Total \ : number \ : of \ : favourable \ : results} {Total \ : number \ : of \ : Outcomes} $

이벤트 발생이 0 %에서 100 % 사이에서 다양하므로 확률은 0에서 1 사이에서 다양합니다.

확률을 찾는 단계

1 단계-실험의 가능한 모든 결과를 계산합니다.

2 단계-실험의 유리한 결과 수를 계산합니다.

3 단계-해당 확률 공식을 적용합니다.

동전 던지기

동전이 던져지면 두 가지 가능한 결과가 있습니다-앞면 $ (H) $ 또는 뒷면 $ (T) $

따라서 총 결과 수 = 2

따라서 머리 $ (H) $가 맨 위에있을 확률은 1/2이고 꼬리 $ (T) $가 맨 위에있을 확률은 1/2입니다.

주사위 던지기

주사위를 던지면 6 가지 가능한 결과가 $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $가 될 수 있습니다.

숫자 중 하나의 확률은 1/6입니다.

짝수를 얻을 확률은 3/6 = 1/2입니다.

홀수를 얻을 확률은 3/6 = 1/2입니다.

덱에서 카드 가져 오기

52 장의 카드 덱에서 카드 한 장을 선택하면 에이스가 뽑힐 확률과 다이아몬드가 뽑힐 확률도 구합니다.

가능한 결과의 총 수 − 52

에이스의 결과 − 4

에이스가 될 확률 = 4/52 = 1/13

다이아몬드가 될 확률 = 13/52 = 1/4

확률 공리

사건의 확률은 항상 0에서 1까지 다양합니다. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
불가능한 사건의 경우 확률은 0이고 특정 사건의 경우 확률은 1입니다.
한 이벤트의 발생이 다른 이벤트의 영향을받지 않는 경우 상호 배타적 또는 분리 된 이벤트라고합니다.

$ A_1, A_2 .... A_n $이 상호 배타적 / 분리 된 이벤트 인 경우 $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ for $ i \ ne j $ 및 $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

확률의 속성

2 개의 이벤트 $ x $와 $ \ overline {x} $이 상보 적이라면, 상보 적 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
두 개의 비 연속 사건 A와 B의 경우, 두 사건의 합집 확률-

$ P (A \ 컵 B) = P (A) + P (B) $
사건 A가 다른 사건 B의 부분 집합 (예 : $ A \ subset B $)이면 A의 확률은 B의 확률보다 작거나 같습니다. 따라서 $ A \ subset B $는 $ P (A ) \ leq p (B) $

조건부 확률

이벤트 B의 조건부 확률은 이벤트 A가 이미 발생한 경우 이벤트가 발생할 확률입니다. 이것은 $ P (B | A) $로 기록됩니다.

수학적으로 − $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

사건 A와 B가 상호 배타적 인 경우 사건 A 이후 사건 B의 조건부 확률은 $ P (B) $ 인 사건 B의 확률이됩니다.

Problem 1

한 나라에서 모든 십대의 50 %가 자전거를 소유하고 있으며 모든 십대의 30 %가 자전거와 자전거를 소유하고 있습니다. 십대가 자전거를 소유하고 있다는 점을 감안할 때 십대가 자전거를 소유 할 확률은 얼마입니까?

Solution

A는 사이클 만 소유 한 십대의 이벤트이고 B는 자전거 만 소유 한 십대의 이벤트라고 가정 해 보겠습니다.

따라서 주어진 문제에서 $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ 및 $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0.3 $입니다.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0.3 / 0.5 = 0.6 $

따라서 십대가 자전거를 소유하고 있다는 점을 감안할 때 십대가 자전거를 소유 할 확률은 60 %입니다.

Problem 2

한 수업에서 모든 학생의 50 %가 크리켓을하고 모든 학생의 25 %가 크리켓과 배구를합니다. 학생이 크리켓을 할 때 배구를 할 확률은 얼마입니까?

Solution

A는 학생들이 크리켓 만하는 이벤트이고 B는 학생들이 배구 만하는 이벤트라고 가정합니다.

따라서 주어진 문제에서 $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ 및 $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0.25 $입니다.

$ P \ l 그룹 B \ rvert A \ rgroup = P \ l 그룹 A \ cap B \ r 그룹 / P \ l 그룹 A \ r 그룹 = 0.25 / 0.5 = 0.5 $

따라서 학생이 크리켓을 할 때 배구를 할 확률은 50 %입니다.

Problem 3

6 개의 양호한 노트북과 3 개의 결함이있는 노트북이 뒤섞여 있습니다. 결함이있는 랩톱을 찾기 위해 모든 랩톱을 무작위로 하나씩 테스트합니다. 처음 두 개 선택에서 결함이있는 랩톱을 모두 찾을 확률은 얼마입니까?

Solution

A를 첫 번째 테스트에서 결함이있는 랩톱을 찾은 이벤트이고 B를 두 번째 테스트에서 결함이있는 랩톱을 찾은 이벤트라고합니다.

따라서 $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3 / 9 \ times 2/8 = 1 / 12 $

베이 즈 정리

Theorem− A와 B가 상호 배타적 인 두 사건 인 경우, $ P (A) $는 A의 확률이고 $ P (B) $는 B의 확률이고, $ P (A | B) $는 주어진 A의 확률입니다. B는 사실입니다. $ P (B | A) $는 A가 참일 때 B의 확률이며 Bayes의 정리는 다음과 같이 말합니다.

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

베이 즈 정리의 적용

샘플 공간의 모든 이벤트가 상호 배타적 인 이벤트 인 경우.
각 $ A_i $에 대한 $ P (A_i \ cap B) $ 또는 각 $ A_i $에 대한 $ P (A_i) $ 및 $ P (B | A_i) $가 알려진 상황에서.

Problem

펜 스탠드 세 개를 고려하십시오. 첫 번째 펜 스탠드에는 빨간색 펜 2 개와 파란색 펜 3 개가 있습니다. 두 번째는 3 개의 빨간색 펜과 2 개의 파란색 펜이 있습니다. 세 번째는 4 개의 빨간색 펜과 1 개의 파란색 펜이 있습니다. 선택 될 각 펜 스탠드의 확률은 동일합니다. 펜 하나를 무작위로 그린다면 빨간색 펜일 확률은 얼마입니까?

Solution

$ A_i $를 i ^번째 펜 스탠드가 선택 되는 이벤트로 지정합니다 .

여기서 i = 1,2,3입니다.

펜 스탠드를 선택할 확률이 같으므로 $ P (A_i) = 1 / 3 $

B를 빨간 펜이 그려지는 이벤트라고합시다.

첫 번째 펜 스탠드의 5 개 펜 중 빨간색 펜이 선택 될 확률,

$ P (B | A_1) = 2 / 5 $

두 번째 펜 스탠드의 5 개 펜 중 빨간 펜이 선택 될 확률,

$ P (B | A_2) = 3 / 5 $

세 번째 펜 스탠드의 5 개 펜 중 빨간색 펜이 선택 될 확률,

$ P (B | A_3) = 4 / 5 $

Bayes의 정리에 따르면,