부울 함수의 단순화
대수 함수를 사용한 단순화
이 접근 방식에서는 부울 ID를 적용하여 하나의 부울 식을 동등한 식으로 최소화합니다.
문제 1
부울 ID를 사용하여 다음 부울 식을 최소화하십시오-
$$ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C'$$
해결책
주어진 경우 $ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C'$
또는 $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC') + BC + AB'C '$
[멱등 법칙, BC '= BC'+ BC ']
또는 $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC) + (BC'+ AB'C ') $
또는 $ F (A, B, C) = A'B + B (C '+ C) + C'(B + AB ') $
[분배 법에 의해]
또는 $ F (A, B, C) = A'B + B.1 + C '(B + A) $
[(C '+ C) = 1 및 흡수 법칙 (B + AB') = (B + A)]
또는 $ F (A, B, C) = A'B + B + C '(B + A) $
[B.1 = B]
또는 $ F (A, B, C) = B (A '+ 1) + C'(B + A) $
또는 $ F (A, B, C) = B.1 + C '(B + A) $
[(A '+ 1) = 1]
또는 $ F (A, B, C) = B + C '(B + A) $
[As, B.1 = B]
또는 $ F (A, B, C) = B + BC '+ AC'$
또는 $ F (A, B, C) = B (1 + C ') + AC'$
또는 $ F (A, B, C) = B.1 + AC '$
[As, (1 + C ') = 1]
또는 $ F (A, B, C) = B + AC '$
[As, B.1 = B]
따라서 $ F (A, B, C) = B + AC '$ 는 최소화 된 형태입니다.
문제 2
부울 ID를 사용하여 다음 부울 식을 최소화하십시오-
$$ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $$
해결책
주어진 $ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $
또는 $ F (A, B, C) = AA + AC + BA + BC $ [분배 규칙 적용]
또는 $ F (A, B, C) = A + AC + BA + BC $ [멱등 법 적용]
또는 $ F (A, B, C) = A (1 + C) + BA + BC $ [분배 법 적용]
또는 $ F (A, B, C) = A + BA + BC $ [지배 법 적용]
또는 $ F (A, B, C) = (A + 1) .A + BC $ [분배 법 적용]
또는 $ F (A, B, C) = 1.A + BC $ [지배 법 적용]
또는 $ F (A, B, C) = A + BC $ [지배 법 적용]
따라서 $ F (A, B, C) = A + BC $는 최소화 된 형식입니다.
Karnaugh지도
1953 년 Maurice Karnaughin이 소개 한 Karnaugh지도 (K-map)는 부울 대수식을 단순화하는 데 사용되는 진리표의 격자 형 표현입니다. Karnaugh 맵에는 서로 다른 위치에 0 개와 1 개의 항목이 있습니다. 부울 식을 공통 요인과 함께 그룹화하고 식에서 원하지 않는 변수를 제거합니다. K- 맵에서 수직 또는 수평 셀 경계를 가로 지르는 것은 항상 하나의 변수 만 변경됩니다.
예 1
임의의 진리표가 아래에 있습니다.
| ㅏ | 비 | A 작업 B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | w |
| 0 | 1 | 엑스 |
| 1 | 0 | 와이 |
| 1 | 1 | 지 |
이제 우리는 위의 진리표에 대한 k- 맵을 만들 것입니다.
예 2
이제 표현식에 대한 K- 맵을 만들 것입니다 − AB + A'B '
K-map을 사용한 단순화
K-map은 인접한 셀을 단일 용어로 결합하여 부울 표현식을 단순화하기위한 몇 가지 규칙을 사용합니다. 규칙은 아래에 설명되어 있습니다.
Rule 1 − 0이 포함 된 셀은 그룹화 할 수 없습니다.
잘못된 그룹화
Rule 2 − 그룹은 2n 개의 셀을 포함해야합니다 (1부터 시작하는 n).
잘못된 그룹화
Rule 3 − 그룹화는 수평 또는 수직이어야하지만 대각선이 아니어야합니다.
잘못된 대각선 그룹
적절한 수직 그룹화
적절한 수평 그룹화
Rule 4 − 그룹은 가능한 한 많이 포함되어야합니다.
불충분 한 그룹화
적절한 그룹화
Rule 5 − 셀 중 하나를 다른 셀과 그룹화 할 수없는 경우 자체 그룹으로 작동합니다.
적절한 그룹화
Rule 6 − 그룹은 겹칠 수 있지만 가능한 한 적은 수의 그룹이 있어야합니다.
적절한 그룹화
Rule 7 − 맨 왼쪽 셀 / 셀은 맨 오른쪽 셀 / 셀로 그룹화 할 수 있으며 맨 위 셀 / 셀은 맨 아래 셀 / 셀로 그룹화 할 수 있습니다.
적절한 그룹화
문제
K-map을 사용하여 다음 부울 표현식을 최소화하십시오.
$$ F (A, B, C) = A'BC + A'BC '+ AB'C'+ AB'C $$
해결책
각 항은 k-map에 입력되고 다음을 얻습니다.
F (A, B, C)에 대한 K- 맵
이제 위에서 언급 한 규칙에 따라 1의 셀을 그룹화합니다.
F (A, B, C)에 대한 K- 맵
$ A'B $와 $ AB '$라는 두 그룹이 있습니다. 따라서 $ F (A, B, C) = A'B + AB '= A \ oplus B $. 최소화 된 형태입니다.