푸리에 변환

푸리에 급수의 가장 큰 단점은주기적인 신호에만 적용 할 수 있다는 것입니다. 비 주기적 또는 비 주기적과 같이 자연적으로 생성되는 신호가 있으며 푸리에 시리즈를 사용하여 나타낼 수 없습니다. 이러한 단점을 극복하기 위해 푸리에는 시간 (또는 공간) 영역에서 주파수 영역으로 또는 그 반대로 신호를 변환하는 수학적 모델을 개발했으며이를 '푸리에 변환'이라고합니다.

푸리에 변환은 LTI 시스템, RADAR, 천문학, 신호 처리 등의 분석과 같은 물리학 및 공학 분야에서 많은 응용 분야를 가지고 있습니다.

푸리에 급수에서 푸리에 변환 유도

주기가 T 인주기 신호 f (t)를 고려하십시오. f (t)의 복소 푸리에 급수 표현은 다음과 같이 주어집니다.

$$ f (t) = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

$ {1 \ over T_0} = \ Delta f $, 방정식 1은

$ f (t) = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

하지만 당신은 알고 있습니다

$ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $

방정식 2를 대입합니다.

(2) $ \ 오른쪽 화살표 f (t) = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

$ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

한계에서 $ T \ to \ infty, \ Delta f $는 미분 $ df에 접근하고, k \ Delta f $는 연속 변수 $ f $가되고, 합계는 적분이됩니다.

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {-j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {어디} \, F [\ omega] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {-j2 \ pi ft} dt] $

기본 함수의 푸리에 변환

기본 함수의 푸리에 변환을 살펴 보겠습니다.

GATE 함수의 FT

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$

임펄스 함수의 FT

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {-j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {-j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ 따라서 \ delta (\ omega) = 1 $

단위 단계 함수의 FT :

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $

지수의 FT

$ e ^ {-at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {-at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {-a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega-\ omega_0) $

Signum 함수의 FT

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

푸리에 변환의 존재 조건

모든 함수 f (t)는 함수가 디리클레의 조건을 충족하는 경우에만 푸리에 변환을 사용하여 나타낼 수 있습니다. 즉

• 함수 f (t)는 유한 한 수의 최대 값과 최소값을 갖습니다.

• 주어진 시간 간격에서 신호 f (t)에는 유한 한 수의 불연속성이 있어야합니다.

• 주어진 시간 간격에서 절대적으로 통합 할 수 있어야합니다.

  $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)

이산 시간 푸리에 변환 (DTFT) 또는 이산 시간 시퀀스 x [n]의 푸리에 변환은 복소 지수 시퀀스 $ e ^ {j \ omega n} $에 대한 시퀀스의 표현입니다.

DTFT 시퀀스 x [n]은 다음과 같이 지정됩니다.

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {-j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

여기서 X (ω)는 실제 주파수 변수 ω의 복소 함수이며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

여기서 X _re (ω), X _img (ω)는 각각 X (ω)의 실수 부분과 허수 부분입니다.

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

그리고 X (ω)는 $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | e ^ {j \ theta (ω)} $

$ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $는 X (ω)의 크기 및 위상 스펙트럼이라고합니다.

역 이산 시간 푸리에 변환

$$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

수렴 조건 :

방정식 1의 무한 급수는 수렴하거나 수렴하지 않을 수 있습니다. x (n)은 절대적으로 합산 할 수 있습니다.

$$ \ text {언제} \, \, \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

절대적으로 합산 할 수있는 수열은 항상 유한 에너지를 갖지만 유한 에너지 수열이 반드시 절대적으로 합산 될 수있는 것은 아닙니다.