신호 분석

벡터와 신호의 유추

벡터와 신호 사이에는 완벽한 비유가 있습니다.

벡터

벡터에는 크기와 방향이 포함됩니다. 벡터의 이름은 굵은면 유형으로 표시되고 크기는 밝은면 유형으로 표시됩니다.

Example:V는 크기가 V 인 벡터입니다 . 다음 다이어그램에 표시된대로 두 벡터 V ₁ 및 V ₂ 를 고려하십시오 . V ₁ 의 구성 요소 와 V ₂ 가 C ₁₂ V _2로 주어집니다 . 벡터 V의 구성 ₁ 벡터 V와 함께 ₂ V의 단부로부터 직각을 구한다 수 ₁ 벡터 V에 ₂ 도에 도시 한 바와 같이

벡터 V ₁ 은 벡터 V ₂ 로 표현할 수 있습니다.

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

Ve는 오류 벡터입니다.

그러나 이것이 V ₂ 측면에서 벡터 V ₁ 을 표현하는 유일한 방법은 아닙니다 . 다른 가능성은 다음과 같습니다.

V ₁ = C ₁ V ₂ + V _e1

V ₂ = C ₂ V ₂ + V _e2

큰 구성 요소 값의 경우 오류 신호가 최소입니다. C ₁₂ = 0이면 두 신호가 직교라고합니다.

두 벡터의 내적

V ₁ . V ₂ = V ₁ .V ₂ cosθ

θ = V1과 V2 사이의 각도

V ₁ . V ₂ = V ₂ .V ₁

V ₁ alog _n V ₂ = V ₁ Cos θ = $ V1.V2 \ over V2 $의 성분

다이어그램에서 V ₁ alog _n V ₂ = C ₁₂ V _2의 구성 요소

$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2 $$

$$ \ 오른쪽 화살표 C_ {12} = {V_1.V_2 \ over V_2} $$

신호

직교성의 개념은 신호에 적용될 수 있습니다. 두 개의 신호 f ₁ (t)와 f ₂ (t)를 고려해 봅시다 . 벡터와 유사하게 f ₂ (t)의 관점에서 f ₁ (t)를 다음과 같이 근사 할 수 있습니다.

f ₁ (t) = C ₁₂ f ₂ (t) + f _e (t) for (t ₁ <t <t ₂ )

$ \ 오른쪽 화살표 $ f _e (t) = f ₁ (t) – C ₁₂ f ₂ (t)

오류를 최소화하는 한 가지 가능한 방법은 t ₁ ~ t ₂ 간격을 적분하는 것 입니다.

$$ {1 \ over {t_2-t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$

$$ {1 \ over {t_2-t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t)-C_ {12} f_2 (t)] dt $$

그러나이 단계는 또한 오류를 상당한 정도로 줄이지 않습니다. 이것은 오류의 제곱 함수를 사용하여 수정할 수 있습니다.

$ \ varepsilon = {1 \ over {t_2-t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2-t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)-C_ {12} f_2] ^ 2 dt $

여기서 ε은 오류 신호의 평균 제곱 값입니다. 오류를 최소화하는 C ₁₂ 의 값입니다. $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $를 계산해야합니다.

$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t)-C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2-t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t)-{d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $

C12 항이없는 항의 미분은 0입니다.

$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2}-2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $

$ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ 구성 요소가 0이면 두 신호가 직교라고합니다.

직교성에 대한 조건을 얻으려면 C ₁₂ = 0을 입력하십시오.

0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$

직교 벡터 공간

완전한 직교 벡터 세트를 직교 벡터 공간이라고합니다. 아래와 같이 3 차원 벡터 공간을 고려하십시오.

점 (X ₁ , Y ₁ , Z ₁ ) 에서 벡터 A를 고려하십시오 . X, Y, Z 축 방향으로 각각 세 개의 단위 벡터 (V _X , V _Y , V _Z )를 고려하십시오. 이러한 단위 벡터는 서로 직교하므로 다음을 충족합니다.

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

위의 조건을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$

벡터 A는 구성 요소 및 단위 벡터로 표현할 수 있습니다.

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $

이 3 차원 공간의 모든 벡터는이 3 개의 단위 벡터로만 표현할 수 있습니다.

n 차원 공간을 고려하면 해당 공간의 모든 벡터 A는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $

단위 벡터의 크기는 모든 벡터 A에 대해 1이므로

x 축을 따라 A의 성분 = AV _X

Y 축을 따라 A의 구성 요소 = AV _Y

Z 축을 따라 A의 구성 요소 = AV _Z

마찬가지로 n 차원 공간의 경우 일부 G 축을 따라 A의 구성 요소

$ = A.VG ............... (3) $

방정식 3에서 방정식 2를 대입합니다.

$ \ 오른쪽 화살표 CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $

$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $

$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {이후} V_G V_G = 1 $

$ If V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {ie} V_G V_G = k $

$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $

$ G_1 = {(AV_G) \ over K} $

직교 신호 공간

우리는 N 개의 상호 직교 함수의 세트 (X)을 고려하자 ₁ (t) (X) ₂ (t) X ... _N 간격 t 이상 (t) ₍₁₎ 에 t ₂ . 이러한 함수는 서로 직교하므로 두 신호 x _j (t), x _k (t)는 직교성 조건을 충족해야합니다. 즉

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {where} \, j \ neq k $$

$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$

함수 f (t)는 상호 직교 신호를 따라 구성 요소를 추가하여이 직교 신호 공간으로 근사화 할 수 있습니다.

$ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $

$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $

$ \, \, \, f (t) = f (t)-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $

평균 sqaure 오류 $ \ varepsilon = {1 \ over t_2-t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$$ = {1 \ over t_2-t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t]-\ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$

평균 제곱 오차를 최소화하는 성분은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$

$ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $를 고려해 보겠습니다.

$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t)-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$

C _k를 포함하지 않는 모든 항 은 0입니다. 즉, 요약하면 r = k 항이 남아 있고 다른 모든 항은 0입니다.

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2}-2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$

$$ \ 오른쪽 화살표 C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$

$$ \ 오른쪽 화살표 \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$

평균 제곱 오차

오차의 제곱 평균 함수 f _e (t)는 평균 제곱 오차라고합니다. ε (엡실론)으로 표시됩니다.

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2-t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt-2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $

$ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2K_r $

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2-t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r-2 \ 시그마 _ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2-t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt-\ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2K_r] $

$ \, \ 따라서 \ varepsilon = {1 \ over t_2-t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $

위의 방정식은 평균 제곱 오차를 평가하는 데 사용됩니다.

폐쇄 및 완전한 직교 함수 세트

간격 t ₁ 에서 t _2에 걸쳐 n 개의 상호 직교 함수 x ₁ (t), x ₂ (t) ... x _n (t) 세트를 고려해 보겠습니다 . $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $ 조건을 만족하는 함수 f (t)가 없을 때 폐쇄 및 완전 집합이라고합니다.

이 함수가 방정식 $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $를 만족한다면 f (t)는 직교 집합의 모든 기능에 직교한다고합니다. 이 세트는 f (t) 없이는 불완전합니다. f (t)가 포함되면 닫히고 완전한 세트가됩니다.

f (t)는 서로 직교하는 신호를 따라 구성 요소를 추가하여이 직교 집합으로 근사화 할 수 있습니다.

$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$

무한 급수 $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $가 f (t)로 수렴하면 평균 제곱 오차는 0입니다.