라플라스 변환 (LT)

복소 푸리에 변환은 양측 라플라스 변환이라고도합니다. 이것은 미분 방정식을 푸는 데 사용됩니다. x (t) = Ge ^st 형식의 복소 지수 신호에 의해 종료 된 LTI 시스템을 고려하십시오 .

여기서 s = 임의의 복소수 = $ \ sigma + j \ omega $,

σ = s의 실수,

ω = s의 허수

LTI의 응답은 임펄스 응답과 함께 입력의 컨볼 루션으로 얻을 수 있습니다.

$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}. \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(-s \ tau)} d \ tau $

$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $

여기서 H (S) = $ h (\ tau) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {-s \ tau} d \ tau $의 라플라스 변환

마찬가지로 $ x (t) = X (S) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {-st} dt \, ... \, ... ( 1) $

라플라스와 푸리에 변환의 관계

$ x (t) = X (S) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {-st} dt $의 라플라스 변환

위 방정식에서 s = σ + jω를 대입합니다.

$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {-(\ sigma + j \ omega) t} dt $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {-\ sigma t}] e ^ {-j \ omega t} dt $

$ \ 따라서 X (S) = FT [x (t) e ^ {-\ sigma t}] \, ... \, ... (2) $

$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad for \, \, s = j \ omega $

$ X (S) = FT [x (t) e ^ {-\ sigma t}] $

$ \ to x (t) e ^ {-\ sigma t} = FT ^ {-1} [X (S)] = FT ^ {-1} [X (\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $

여기에서 $ \ sigma + j \ omega = s $

$ jdω = ds → dω = ds / j $

$ \ 따라서 x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $

방정식 1과 4는 신호 x (t)의 라플라스 및 역 라플라스 변환을 나타냅니다.

Dirichlet의 조건은 Laplace 변환의 존재를 정의하는 데 사용됩니다. 즉

함수 f (t)는 유한 한 수의 최대 값과 최소값을 갖습니다.
주어진 시간 간격에서 신호 f (t)에는 유한 한 수의 불연속성이 있어야합니다.
주어진 시간 간격 내에서 절대적으로 통합 가능해야합니다. 즉

$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $