신호 샘플링 정리

Statement:연속 시간 신호는 샘플로 표현 될 수 있고, 주파수 f를 샘플링 할 때 다시 복구 될 수 _들 보다 큰 메시지 또는 신호의 두 배 높은 주파수 성분과 동일. 즉

$$ f_s \geq 2 f_m. $$

Proof:연속 시간 신호 x (t)를 고려하십시오. x (t)의 스펙트럼은 f _m Hz로 제한되는 대역입니다. 즉, x (t)의 스펙트럼은 | ω |> ω _m에 대해 0입니다 .

입력 신호 x (t)의 샘플링은 x (t)를주기 Ts _의 임펄스 트레인 δ (t)와 곱하여 얻을 수 있습니다 . 곱셈기의 출력은 다음 다이어그램에서 y (t)로 표시되는 샘플링 된 신호라고하는 이산 신호입니다.

여기에서 샘플링 된 신호가 임펄스 기간을 차지하는 것을 관찰 할 수 있습니다. 샘플링 과정은 다음과 같은 수학 식으로 설명 할 수 있습니다.

$ \text{Sampled signal}\, y(t) = x(t) . \delta(t) \,\,...\,...(1) $

삼각 푸리에 급수 표현 $\delta$(t)는 다음과 같이 주어진다.

$ \delta(t)= a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_s t + b_n \sin⁡ n\omega_s t )\,\,...\,...(2) $

어디 $ a_0 = {1\over T_s} \int_{-T \over 2}^{ T \over 2} \delta (t)dt = {1\over T_s} \delta(0) = {1\over T_s} $

$ a_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta (t) \cos n\omega_s\, dt = { 2 \over T_2} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = {2 \over T}$

$b_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta(t) \sin⁡ n\omega_s t\, dt = {2 \over T_s} \delta(0) \sin⁡ n\omega_s 0 = 0 $

방정식 2에서 위의 값을 대체하십시오.

$\therefore\, \delta(t)= {1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty} ( { 2 \over T_s} \cos ⁡ n\omega_s t+0)$

방정식 1에서 δ (t)를 대입합니다.

$\to y(t) = x(t) . \delta(t) $

$ = x(t) [{1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty}({2 \over T_s} \cos n\omega_s t) ] $

$ = {1 \over T_s} [x(t) + 2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] $

$ y(t) = {1 \over T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t.x(t) + 2 \cos 2\omega_st.x(t) + 2 \cos 3\omega_s t.x(t) \,...\, ...\,] $

양쪽에서 푸리에 변환을 취하십시오.

$Y(\omega) = {1 \over T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...] $

$\therefore\,\, Y(\omega) = {1\over T_s} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad where \,\,n= 0,\pm1,\pm2,... $

x (t)를 재구성하려면 샘플링 된 신호 스펙트럼 Y (ω)에서 입력 신호 스펙트럼 X (ω)를 복구해야합니다. 이는 Y (ω)주기간에 겹침이 없을 때 가능합니다.

조건이 다른 샘플링 된 주파수 스펙트럼의 가능성은 다음 다이어그램에 나와 있습니다.

앨리어싱 효과

언더 샘플링의 경우 겹친 영역은 앨리어싱 효과를 나타내며