MATLAB - Дифференциальный

MATLAB предоставляет diffкоманда для вычисления символьных производных. В простейшей форме вы передаете функцию, которую хотите дифференцировать, команде diff в качестве аргумента.

Например, вычислим производную функции f (t) = 3t 2 + 2t -2

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

Когда приведенный выше код компилируется и выполняется, он дает следующий результат:

ans =
6*t - 4/t^3

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

Проверка элементарных правил дифференциации

Кратко сформулируем различные уравнения или правила дифференцирования функций и проверим эти правила. Для этого мы будем писать f '(x) для производной первого порядка и f "(x) для производной второго порядка.

Ниже приведены правила дифференциации -

Правило 1

Для любых функций f и g и любых действительных чисел a и b являются производными функции -

h(x) = af(x) + bg(x) относительно x задается -

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

Правило 2

В sum и subtraction правила гласят, что если f и g - две функции, f 'и g' - их производные соответственно, то

(f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

Правило 3

В product Правило гласит, что если f и g - две функции, f 'и g' - их производные соответственно, то,

(f.g)' = f'.g + g'.f

Правило 4

В quotient Правило гласит, что если f и g - две функции, f 'и g' - их производные соответственно, то,

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g2

Правило 5

В polynomial или элементарное правило власти гласит, что если y = f(x) = xn, тогда f' = n. x(n-1)

Прямым следствием этого правила является то, что производная любой константы равна нулю, т. Е. Если y = k, любая константа, то

f' = 0

Правило 6

В chain Правило гласит, что производная функции функции h(x) = f(g(x)) относительно x,

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

Когда вы запускаете файл, MATLAB отображает следующий результат -

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

Производные от экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

В следующей таблице представлены производные широко используемых экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций.

Функция Производная
ca.x c a.x .ln ca (ln - натуральный логарифм)
ex e x
ln x 1 / х
lncx 1 / x.ln c
xx х х . (1 + ln х)
sin(x) cos (x)
cos(x) -sin (х)
tan(x) сек 2 (x), или 1 / cos 2 (x), или 1 + tan 2 (x)
cot(x) -csc 2 (x), или -1 / sin 2 (x), или - (1 + кроватка 2 (x))
sec(x) сек (х) .tan (х)
csc(x) -csc (x) .cot (x)

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

Когда вы запускаете файл, MATLAB отображает следующий результат -

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

Вычисление производных высшего порядка

Чтобы вычислить высшие производные функции f, мы используем синтаксис diff(f,n).

Вычислим вторую производную функции y = f (x) = x .e -3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

пример

В этом примере давайте решим проблему. Учитывая, что функцияy = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x). Нам нужно будет выяснить, действительно ли уравнениеf" + f = -5cos(2x) Справедливо.

Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

Нахождение максимума и минимума кривой

Если мы ищем локальные максимумы и минимумы для графика, мы в основном ищем наивысшие или самые низкие точки на графике функции в определенной местности или для определенного диапазона значений символической переменной.

Для функции y = f (x) точки на графике, где график имеет нулевой наклон, называются stationary points. Другими словами, стационарные точки - это когда f '(x) = 0.

Чтобы найти стационарные точки дифференцируемой функции, нам нужно установить производную равной нулю и решить уравнение.

пример

Найдем стационарные точки функции f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17

Сделайте следующие шаги -

First let us enter the function and plot its graph.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график -

Вот эквивалентный код Octave для приведенного выше примера -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

Our aim is to find some local maxima and minima on the graph, so let us find the local maxima and minima for the interval [-2, 2] on the graph.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график -

Вот эквивалентный код Octave для приведенного выше примера -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

Next, let us compute the derivative.

g = diff(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

Вот октавный эквивалент приведенного выше расчета -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

Let us solve the derivative function, g, to get the values where it becomes zero.

s = solve(g)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

s =
   1
   -2

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

This agrees with our plot. So let us evaluate the function f at the critical points x = 1, -2. Мы можем подставить значение в символьную функцию, используя subs команда.

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

ans =
   10
ans =
   37

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

Следовательно, минимальное и максимальное значения функции f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17 в интервале [-2,2] равны 10 и 37.

Решение дифференциальных уравнений

MATLAB предоставляет dsolve команда для символьного решения дифференциальных уравнений.

Самая основная форма dsolve команда для поиска решения одного уравнения:

dsolve('eqn')

где eqn - текстовая строка, используемая для ввода уравнения.

Он возвращает символическое решение с набором произвольных констант, которые MATLAB помечает как C1, C2 и так далее.

Вы также можете указать начальные и граничные условия для задачи в виде списка с разделителями-запятыми, следующего за уравнением как -

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

Чтобы использовать команду dsolve, derivatives are indicated with a D. Например, уравнение вида f '(t) = -2 * f + cost (t) вводится как -

'Df = -2*f + cos(t)'

Высшие производные обозначаются следующим за D порядком производной.

Например, уравнение f "(x) + 2f '(x) = 5sin3x следует вводить как -

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

Рассмотрим простой пример дифференциального уравнения первого порядка: y '= 5y.

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

s =
   C2*exp(5*t)

Давайте рассмотрим другой пример дифференциального уравнения второго порядка: y "- y = 0, y (0) = -1, y '(0) = 2.

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат -

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
ja/tutorial
es/tutorial
de/tutorial
fr/tutorial
th/tutorial
pt/tutorial
ru/tutorial
vi/tutorial
it/tutorial
ko/tutorial
tr/tutorial
id/tutorial
pl/tutorial
hi/tutorial
japost
espost
depost
frpost
thpost
ptpost
rupost
vipost
itpost
kopost
trpost
idpost
plpost
hipost

© Copyright 2021 - 2024 | All Rights Reserved