MATLAB - Интеграция

Интеграция решает два принципиально разных типа проблем.

  • В первом типе дана производная функции, и мы хотим найти функцию. Таким образом, мы в основном обращаем вспять процесс дифференциации. Этот обратный процесс известен как антидифференциация, или нахождение примитивной функции, или нахождениеindefinite integral.

  • Второй тип проблем заключается в суммировании очень большого числа очень малых величин и последующем установлении предела, когда размер величин приближается к нулю, в то время как количество членов стремится к бесконечности. Этот процесс приводит к определениюdefinite integral.

Определенные интегралы используются для определения площади, объема, центра тяжести, момента инерции, работы, совершаемой силой, и во многих других приложениях.

Нахождение неопределенного интеграла с помощью MATLAB

По определению, если производная функции f (x) равна f '(x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f' (x) относительно x равен f (x). Например, поскольку производная (по x) x 2 равна 2x, мы можем сказать, что неопределенный интеграл от 2x равен x 2 .

В символах -

f'(x2) = 2x, следовательно,

∫ 2xdx = x2.

Неопределенный интеграл не уникален, потому что производная x 2 + c для любого значения константы c также будет 2x.

Это выражается символами как -

∫ 2xdx = x2 + c.

Где c называется «произвольной константой».

MATLAB предоставляет intкоманда для вычисления интеграла выражения. Чтобы получить выражение для неопределенного интеграла функции, мы пишем -

int(f);

Например, из нашего предыдущего примера -

syms x 
int(2*x)

MATLAB выполняет вышеуказанный оператор и возвращает следующий результат -

ans =
   x^2

Пример 1

В этом примере давайте найдем интеграл некоторых часто используемых выражений. Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат -

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

Пример 2

Создайте файл сценария и введите в него следующий код -

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

Обратите внимание, что pretty функция возвращает выражение в более читаемом формате.

Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат -

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

Нахождение определенного интеграла с помощью MATLAB

По определению, определенный интеграл - это, по сути, предел суммы. Мы используем определенные интегралы, чтобы найти такие области, как площадь между кривой и осью x и площадь между двумя кривыми. Определенные интегралы могут также использоваться в других ситуациях, когда требуемая величина может быть выражена как предел суммы.

В int Функцию можно использовать для точного интегрирования, перейдя границы, за которые вы хотите вычислить интеграл.

Вычислять

мы пишем,

int(x, a, b)

Например, чтобы рассчитать значение,

мы пишем -

int(x, 4, 9)

MATLAB выполняет вышеуказанный оператор и возвращает следующий результат -

ans =
   65/2

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

Area: 

   32.500

Альтернативное решение может быть предоставлено с использованием функции quad (), предоставляемой Octave, следующим образом:

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

Area: 
   32.500

Пример 1

Вычислим площадь, заключенную между осью x, кривой y = x 3 −2x + 5 и ординатами x = 1 и x = 2.

Требуемая площадь определяется как -

Создайте файл сценария и введите следующий код -

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат -

a =
23/4
Area: 
   5.7500

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

Area: 

   5.7500

Альтернативное решение может быть предоставлено с использованием функции quad (), предоставляемой Octave, следующим образом:

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave выполняет код и возвращает следующий результат -

Area: 
   5.7500

Пример 2

Найдите площадь под кривой: f (x) = x 2 cos (x) для −4 ≤ x ≤ 9.

Создайте файл сценария и напишите следующий код -

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

Когда вы запускаете файл, MATLAB строит график -

Результат приведен ниже -

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета.

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));