Birinci Derece Sistemin Yanıtı
Bu bölümde, birinci dereceden sistemin zaman cevabını tartışalım. Kapalı döngü kontrol sisteminin aşağıdaki blok şemasını düşünün. Burada, bir açık döngü transfer fonksiyonu, $ \ frac {1} {sT} $ bir birlik negatif geri beslemesi ile bağlantılıdır.
Kapalı döngü kontrol sisteminin transfer fonksiyonunun birlik negatif geri beslemesine sahip olduğunu biliyoruz.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
Yukarıdaki denklemde yerine $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ koyun.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$
S'nin gücü payda teriminde birdir. Bu nedenle, yukarıdaki transfer işlevi birinci derecededir ve sistemin,first order system.
Yukarıdaki denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
$$ C (s) = \ sol (\ frac {1} {sT + 1} \ sağ) R (s) $$
Nerede,
C(s) c (t) çıkış sinyalinin Laplace dönüşümüdür,
R(s) r (t) giriş sinyalinin Laplace dönüşümüdür ve
T zaman sabiti.
Zaman alanındaki birinci dereceden sistemin yanıtını (çıktı) almak için bu adımları izleyin.
$ R (t) $ giriş sinyalinin Laplace dönüşümünü ele alalım.
$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $ denklemini düşünün
Yukarıdaki denklemde $ R (s) $ değerini değiştirin.
Gerekirse $ C (s) $ 'ın kısmi kesirlerini yapın.
$ C (s) $ 'a ters Laplace dönüşümü uygulayın.
Önceki bölümde impuls, adım, rampa ve parabolik gibi standart test sinyallerini gördük. Şimdi her girdi için birinci dereceden sistemin yanıtlarını tek tek bulalım. Yanıtın adı, giriş sinyalinin adına göre verilir. Örneğin, sistemin bir dürtü girişi için tepkisine dürtü yanıtı denir.
Birinci Derece Sistemin Dürtü Tepkisi
Yi hesaba kat unit impulse signal birinci dereceden sisteme girdi olarak.
Dolayısıyla, $ r (t) = \ delta (t) $
Her iki tarafa da Laplace dönüşümü uygulayın.
$ R (s) = 1 $
$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $ denklemini düşünün
Yukarıdaki denklemde, $ R (s) = 1 $ yerine koyun.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$
Yukarıdaki denklemi, Laplace dönüşümlerinin standart formlarından birinde yeniden düzenleyin.
$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$
Her iki tarafta ters Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$
Birim dürtü tepkisi aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
unit impulse responsec (t), pozitif "t" değerleri için üstel bir zayıflama sinyalidir ve "t" nin negatif değerleri için sıfırdır.
Birinci Derece Sistemin Adım Tepkisi
Yi hesaba kat unit step signal birinci dereceden sisteme girdi olarak.
Yani, $ r (t) = u (t) $
Her iki tarafa da Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $ denklemini düşünün
Yukarıdaki denklemde yerine $ R (s) = \ frac {1} {s} $ koyun.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ sağ)} $$
C (ler) in kısmi kesirlerini yapın.
$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
Her iki tarafta da payda terimi aynıdır. Böylece birbirleri tarafından iptal edilecekler. Bu nedenle, pay terimlerini eşitleyin.
$$ 1 = A \ left (sT + 1 \ right) + Bs $$
Her iki taraftaki sabit terimleri eşitleyerek, A = 1 elde edersiniz.
İkame, A = 1 ve katsayısını eşitleyin s her iki taraftaki terimler.
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
$ C (s) $ 'ın kısmi kesir açılımında ikame, A = 1 ve B = −T.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$
Her iki tarafa da ters Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ sağ) u (t) $$
unit step responsec (t) hem geçici hem de sabit durum terimlerine sahiptir.
Birim adım yanıtındaki geçici terim -
$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Birim adım yanıtındaki kararlı durum terimi -
$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$
Aşağıdaki şekil birim adım yanıtını göstermektedir.
Değeri unit step response, c(t)t = 0'da sıfırdır ve t'nin tüm negatif değerleri için. Sıfır değerinden kademeli olarak yükselmekte ve nihayet kararlı durumda bire ulaşmaktadır. Dolayısıyla, kararlı durum değeri, girişin büyüklüğüne bağlıdır.
Birinci Derece Sistemin Rampa Tepkisi
Yi hesaba kat unit ramp signal birinci dereceden sisteme girdi olarak.
$ Yani, r (t) = tu (t) $
Her iki tarafa da Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$
$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $ denklemini düşünün
Yukarıdaki denklemde yerine $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ koyun.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$
$ C (s) $ 'ın kısmi kesirlerini yapın.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$
Her iki tarafta da payda terimi aynıdır. Böylece birbirleri tarafından iptal edilecekler. Bu nedenle, pay terimlerini eşitleyin.
$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$
Her iki taraftaki sabit terimleri eşitleyerek, A = 1 elde edersiniz.
Değiştirin, A = 1 ve her iki taraftaki s terimlerinin katsayısını eşitleyin.
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
Benzer şekilde, B = −T yerine koyun ve her iki tarafta da $ s ^ 2 $ terimlerinin katsayısını eşitleyin. $ C = T ^ 2 $ alacaksınız.
$ C (s) $ 'ın kısmi kesir açılımında A = 1, B = −T ve $ C = T ^ 2 $ yerine koyun.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$
Her iki tarafa da ters Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
unit ramp responsec (t) hem geçici hem de sabit durum terimlerine sahiptir.
Birim rampa yanıtındaki geçici terim -
$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Birim rampa yanıtındaki kararlı durum terimi -
$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$
Aşağıdaki şekil birim rampa tepkisini göstermektedir.
unit ramp response, c (t), t'nin tüm pozitif değerleri için birim rampa giriş sinyalini takip eder. Ancak, giriş sinyalinden T birimlerinde bir sapma var.
Birinci Derece Sistemin Parabolik Tepkisi
Yi hesaba kat unit parabolic signal birinci dereceden sisteme girdi olarak.
Yani, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $
Her iki tarafa da Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$
$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $ denklemini düşünün
Yukarıdaki denklemde $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ 'ı değiştirin.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$
$ C (s) $ 'ın kısmi kesirlerini yapın.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$
Sadeleştirdikten sonra sırasıyla A, B, C ve D değerlerini 1, $ -T, \: T ^ 2 \: ve \: −T ^ 3 $ olarak alacaksınız. Bu değerleri, C (s) 'nin yukarıdaki kısmi fraksiyon genişlemesinde ikame edin.
$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $
Her iki tarafa da ters Laplace dönüşümü uygulayın.
$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$
unit parabolic responsec (t) hem geçici hem de sabit durum terimlerine sahiptir.
Birim parabolik yanıttaki geçici terim
$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Birim parabolik yanıttaki kararlı durum terimi,
$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$
Bu yanıtlardan, birinci dereceden kontrol sistemlerinin rampa ve parabolik girdilerle kararlı olmadığı sonucuna varabiliriz çünkü bu yanıtlar sonsuz miktarda bile artmaya devam eder. Birinci dereceden kontrol sistemleri, dürtü ve adım girdileri ile kararlıdır çünkü bu yanıtlar sınırlı çıktıya sahiptir. Ancak, dürtü yanıtının sabit durum terimi yoktur. Bu nedenle, adım sinyali, kontrol sistemlerini yanıtlarından analiz etmek için zaman alanında yaygın olarak kullanılır.