Kontrol Sistemleri - Kararlılık Analizi
Bu bölümde, kararlılık analizini ‘s’alanı RouthHurwitz kararlılık ölçütü kullanılarak. Bu kriterde, kapalı döngü kontrol sistemlerinin kararlılığını bulmak için karakteristik denklemi istiyoruz.
Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri
Routh-Hurwitz kararlılık kriteri, kararlılık için bir gerekli koşula ve bir yeterli koşula sahip olmaktır. Herhangi bir kontrol sistemi gerekli koşulu sağlamazsa kontrol sisteminin kararsız olduğunu söyleyebiliriz. Ancak, kontrol sistemi gerekli koşulu karşılarsa, kararlı olabilir veya olmayabilir. Dolayısıyla, yeterli koşul, kontrol sisteminin kararlı olup olmadığını bilmek için yararlıdır.
Routh-Hurwitz Stabilitesi İçin Gerekli Koşul
Gerekli koşul, karakteristik polinomun katsayılarının pozitif olmasıdır. Bu, karakteristik denklemin tüm köklerinin negatif gerçek kısımlara sahip olması gerektiği anlamına gelir.
'N' derecesinin karakteristik denklemini düşünün -
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$
Unutmayın, herhangi bir terim eksik olmamalıdır nthsıra karakteristik denklemi. Bu şu demektirnth sıra karakteristik denkleminin sıfır değerli herhangi bir katsayısı olmamalıdır.
Routh-Hurwitz Stabilitesi için Yeterli Koşul
Yeterli koşul, Routh dizisinin ilk sütunundaki tüm öğelerin aynı işarete sahip olmasıdır. Bu, Routh dizisinin ilk sütunundaki tüm öğelerin pozitif veya negatif olması gerektiği anlamına gelir.
Routh Array Yöntemi
Karakteristik denklemin tüm kökleri 's' düzleminin sol yarısında mevcutsa, kontrol sistemi kararlıdır. Karakteristik denklemin en az bir kökü 's' düzleminin sağ yarısında mevcutsa, kontrol sistemi kararsızdır. Bu nedenle, kontrol sisteminin kararlı mı yoksa kararsız mı olduğunu bilmek için karakteristik denklemin köklerini bulmalıyız. Ancak sıra arttıkça karakteristik denklemin köklerini bulmak zordur.
Yani, bu sorunun üstesinden gelmek için orada var Routh array method. Bu yöntemde karakteristik denklemin köklerinin hesaplanmasına gerek yoktur. Önce Routh tablosunu formüle edin ve Routh tablosunun ilk sütunundaki işaret değişikliklerinin sayısını bulun. Routh tablosunun ilk sütunundaki işaret değişikliklerinin sayısı, 's' düzleminin sağ yarısında bulunan karakteristik denklemin kök sayısını verir ve kontrol sistemi kararsızdır.
Routh masasını oluşturmak için bu prosedürü izleyin.
Routh dizisinin ilk iki satırını, aşağıdaki tabloda belirtildiği gibi karakteristik polinomun katsayılarıyla doldurun. $ S ^ n $ katsayısıyla başlayın ve $ s ^ 0 $ katsayısına kadar devam edin.
Routh dizisinin kalan satırlarını aşağıdaki tabloda belirtildiği gibi öğelerle doldurun. İlk sütun elemanını alana kadar bu işleme devam edin.row $s^0$$ a_n $. Burada, $ a_n $, karakteristik polinomdaki $ s ^ 0 $ katsayısıdır.
Note - Routh tablosundaki herhangi bir satır elemanının ortak bir faktörü varsa, basitleştirme için satır elemanlarını bu faktörle bölebilirsiniz.
Aşağıdaki tablo, n inci dereceden karakteristik polinomun Routh dizisini göstermektedir .
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$
$ s ^ n $ |
$ a_0 $ |
$ a_2 $ |
$ a_4 $ |
$ a_6 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-1} $ |
$ a_1 $ |
$ a_3 $ |
$ a_5 $ |
$ a_7 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-2} $ |
$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $ |
$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $ |
$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $ |
... |
... |
... |
$ s ^ {n-3} $ |
$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $ |
$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
||||
$ s ^ 0 $ |
$ a_n $ |
Example
Karakteristik denklemi olan kontrol sisteminin kararlılığını bulalım,
$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Routh-Hurwitz stabilitesi için gerekli koşulu doğrulayın.
Karakteristik polinomun tüm katsayıları, $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ pozitiftir. Böylece kontrol sistemi gerekli koşulu karşılar.
Step 2 - Verilen karakteristik polinom için Routh dizisini oluşturun.
$ s ^ 4 $ |
1 $ |
3 $ |
1 $ |
$ s ^ 3 $ |
3 $ |
2 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3} $ |
$ \ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 $ |
Step 3 - Routh-Hurwitz stabilitesi için yeterli koşulu doğrulayın.
Routh dizisinin ilk sütununun tüm elemanları pozitiftir. Routh dizisinin ilk sütununda işaret değişikliği yoktur. Yani kontrol sistemi kararlı.
Routh Array'in Özel Durumları
Routh masasını oluştururken iki tür durumla karşılaşabiliriz. Bu iki durumdan Routh masasını tamamlamak zordur.
İki özel durum:
- Routh dizisinin herhangi bir satırının ilk elemanı sıfırdır.
- Routh dizisinin herhangi bir satırının tüm elemanları sıfırdır.
Şimdi bu iki durumdaki zorluğun üstesinden nasıl gelineceğini tek tek tartışalım.
Routh dizisinin herhangi bir satırının ilk Elemanı sıfırdır
Routh dizisinin herhangi bir satırı sıfır olarak yalnızca ilk öğeyi içeriyorsa ve kalan öğelerden en az biri sıfır olmayan değere sahipse, ilk öğeyi küçük bir pozitif tamsayı olan $ \ epsilon $ ile değiştirin. Ardından Routh masasını tamamlama sürecine devam edin. Şimdi, Routh tablosunun ilk sütunundaki işaret değişikliklerinin sayısını $ \ epsilon $ tends to zero yazarak bulun.
Example
Karakteristik denklemi olan kontrol sisteminin kararlılığını bulalım,
$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Routh-Hurwitz stabilitesi için gerekli koşulu doğrulayın.
Karakteristik polinomun tüm katsayıları, $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ pozitiftir. Böylece, kontrol sistemi gerekli koşulu sağladı.
Step 2 - Verilen karakteristik polinom için Routh dizisini oluşturun.
$ s ^ 4 $ |
1 $ |
1 $ |
1 $ |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
$ S ^ 3 $ satırındaki elemanların ortak çarpanı 2'dir. Yani, tüm bu unsurlar 2'ye bölünmüştür.
Special case (i)- $ s ^ 2 $ satırının yalnızca ilk öğesi sıfırdır. Bu nedenle, onu $ \ epsilon $ ile değiştirin ve Routh tablosunu tamamlama işlemine devam edin.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ epsilon $ |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Routh-Hurwitz stabilitesi için yeterli koşulu doğrulayın.
$ \ Epsilon $ sıfır olma eğiliminde olduğundan, Routh tablosu şu hale gelir.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
0 |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
-∞ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Routh tablosunun ilk sütununda iki işaret değişikliği vardır. Bu nedenle, kontrol sistemi kararsızdır.
Routh dizisinin herhangi bir satırındaki tüm Elements sıfırdır
Bu durumda, şu iki adımı izleyin -
Sıfırlar satırının hemen üzerinde olan A (s) yardımcı denklemini yazın.
Yardımcı denklem A (s) 'yi s'ye göre farklılaştırın. Sıfırları bu katsayılarla doldurun.
Example
Karakteristik denklemi olan kontrol sisteminin kararlılığını bulalım,
$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$
Step 1 - Routh-Hurwitz stabilitesi için gerekli koşulu doğrulayın.
Verilen karakteristik polinomun tüm katsayıları pozitiftir. Böylece, kontrol sistemi gerekli koşulu sağladı.
Step 2 - Verilen karakteristik polinom için Routh dizisini oluşturun.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
|
|
|
$ s ^ 3 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
$ S ^ 4 $ satırındaki elemanların ortak çarpanı 3'tür. Dolayısıyla, tüm bu elemanlar 3'e bölünür.
Special case (ii)- $ s ^ 3 $ satırının tüm öğeleri sıfırdır. Öyleyse, $ s ^ 4 $ satırının A (s) yardımcı denklemini yazın.
$$ A (lar) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$
Yukarıdaki denklemi s'ye göre farklılaştırın.
$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$
Bu katsayıları $ s ^ 3 $ satırına yerleştirin.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0,5 $ |
$ \ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {(0,5 \ times 1) - (1 \ times 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Routh-Hurwitz stabilitesi için yeterli koşulu doğrulayın.
Routh tablosunun ilk sütununda iki işaret değişikliği vardır. Bu nedenle, kontrol sistemi kararsızdır.
Routh-Hurwitz kararlılık kriterinde, kapalı döngü kutuplarının 's' düzleminin sol yarısında mı, 's' düzleminin sağ yarısında mı yoksa hayali bir eksende mi olduğunu bilebiliriz. Yani, kontrol sisteminin doğasını bulamıyoruz. Bu sınırlamanın üstesinden gelmek için kök lokusu olarak bilinen bir teknik vardır. Bu tekniği sonraki iki bölümde tartışacağız.