Diskrete Mathematik - Funktionen
EIN FunctionWeist jedem Element einer Menge genau ein Element einer verwandten Menge zu. Funktionen finden ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen wie der Darstellung der rechnerischen Komplexität von Algorithmen, dem Zählen von Objekten, dem Studium von Sequenzen und Zeichenfolgen, um nur einige zu nennen. Das dritte und letzte Kapitel dieses Teils beleuchtet die wichtigen Aspekte von Funktionen.
Funktion - Definition
Eine Funktion oder Zuordnung (definiert als $ f: X \ rightarrow Y $) ist eine Beziehung von Elementen einer Menge X zu Elementen einer anderen Menge Y (X und Y sind nicht leere Mengen). X heißt Domain und Y heißt Codomain der Funktion 'f'.
Die Funktion 'f' ist eine Beziehung auf X und Y, so dass für jedes $ x \ in X $ ein eindeutiges $ y \ in Y $ existiert, so dass $ (x, y) \ in R $. 'x' heißt Vorbild und 'y' heißt Bild der Funktion f.
Eine Funktion kann eins zu eins oder viele zu eins sein, aber nicht eins zu viele.
Injective / Eins-zu-Eins-Funktion
Eine Funktion $ f: A \ rightarrow B $ ist eine injektive oder Eins-zu-Eins-Funktion, wenn für jedes $ b \ in B $ höchstens ein $ a \ in A $ existiert, so dass $ f (s) = t $ .
Dies bedeutet eine Funktion f ist injektiv, wenn $ a_1 \ ne a_2 $ $ f (a1) \ ne f (a2) $ impliziert.
Beispiel
$ f: N \ rechter Pfeil N, f (x) = 5x $ ist injektiv.
$ f: N \ rechter Pfeil N, f (x) = x ^ 2 $ ist injektiv.
$ f: R \ rechter Pfeil R, f (x) = x ^ 2 $ ist nicht injektiv, da $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $
Surjektiv / Auf Funktion
Eine Funktion $ f: A \ rightarrow B $ ist surjektiv (auf), wenn das Bild von f seinem Bereich entspricht. Entsprechend gibt es für jedes $ b \ in B $ einige $ a \ in A $, so dass $ f (a) = b $. Dies bedeutet, dass für jedes y in B ein x in A existiert, so dass $ y = f (x) $.
Beispiel
$ f: N \ rechter Pfeil N, f (x) = x + 2 $ ist surjektiv.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ ist nicht surjektiv, da wir keine reelle Zahl finden können, deren Quadrat negativ ist.
Bijektiv / Eins-zu-eins-Korrespondent
Eine Funktion $ f: A \ rightarrow B $ ist genau dann bijektiv oder eins zu eins Korrespondent f ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Problem
Man beweise, dass eine durch $ f (x) = 2x - 3 $ definierte Funktion $ f: R \ rightarrow R $ eine bijektive Funktion ist.
Explanation - Wir müssen beweisen, dass diese Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Wenn $ f (x_1) = f (x_2) $, dann ist $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ und dies impliziert, dass $ x_1 = x_2 $.
Daher ist f injective.
Hier ist $ 2x - 3 = y $
Also ist $ x = (y + 5) / 3 $, was zu R gehört, und $ f (x) = y $.
Daher ist f surjective.
Schon seit f ist beides surjective und injective, Wir können sagen f ist bijective.
Inverse einer Funktion
Das inverse einer Eins-zu-Eins-Funktion $ f: A \ rightarrow B $ ist die Funktion $ g: B \ rightarrow A $, die die folgende Eigenschaft enthält:
$ f (x) = y \ Linker Pfeil g (y) = x $
Die Funktion f wird aufgerufen invertible, wenn seine Umkehrfunktion g existiert.
Beispiel
Eine Funktion $ f: Z \ rechter Pfeil Z, f (x) = x + 5 $, ist invertierbar, da sie die Umkehrfunktion $ g: Z \ rechter Pfeil Z, g (x) = x-5 $ hat.
Eine Funktion $ f: Z \ rechter Pfeil Z, f (x) = x ^ 2 $ ist nicht invertierbar, da dies nicht eins zu eins ist, da $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.
Zusammensetzung der Funktionen
Zwei Funktionen $ f: A \ rightarrow B $ und $ g: B \ rightarrow C $ können zusammengesetzt werden, um eine Komposition $ gof $ zu ergeben. Dies ist eine Funktion von A nach C, definiert durch $ (gof) (x) = g (f (x)) $
Beispiel
Sei $ f (x) = x + 2 $ und $ g (x) = 2x + 1 $, finde $ (Nebel) (x) $ und $ (gof) (x) $.
Lösung
$ (Nebel) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $
$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $
Daher ist $ (Nebel) (x) \ neq (gof) (x) $
Einige Fakten zur Zusammensetzung
Wenn f und g eins zu eins sind, ist die Funktion $ (gof) $ auch eins zu eins.
Wenn f und g eingeschaltet sind, ist auch die Funktion $ (gof) $ eingeschaltet.
Die Zusammensetzung enthält immer assoziative Eigenschaften, jedoch keine kommutativen Eigenschaften.