Diskrete Mathematik - Wahrscheinlichkeit

Eng verwandt mit den Konzepten des Zählens ist die Wahrscheinlichkeit. Wir versuchen oft, die Ergebnisse von Glücksspielen wie Kartenspielen, Spielautomaten und Lotterien zu erraten. dh wir versuchen die Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeit zu finden, mit der ein bestimmtes Ergebnis erzielt wird.

Probabilitykann so konzipiert werden, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses ermittelt wird. Mathematisch ist es das Studium zufälliger Prozesse und ihrer Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeitsgesetze haben eine breite Anwendbarkeit in einer Vielzahl von Bereichen wie Genetik, Wettervorhersage, Meinungsumfragen, Aktienmärkte usw.

Grundlegendes Konzept

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde im 17. Jahrhundert von zwei französischen Mathematikern, Blaise Pascal und Pierre de Fermat, erfunden, die sich mit mathematischen Problemen in Bezug auf den Zufall befassten.

Bevor wir zu den Details der Wahrscheinlichkeit übergehen, wollen wir uns das Konzept einiger Definitionen ansehen.

Random Experiment- Ein Experiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind und die genaue Ausgabe nicht im Voraus vorhergesagt werden kann, wird als zufälliges Experiment bezeichnet. Das Werfen einer fairen Münze ist ein Beispiel für ein zufälliges Experiment.

Sample Space- Wenn wir ein Experiment durchführen, wird die Menge S aller möglichen Ergebnisse als Probenraum bezeichnet. Wenn wir eine Münze werfen, ist der Probenraum $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Jede Teilmenge eines Probenraums wird als Ereignis bezeichnet. Nach dem Werfen einer Münze ist es ein Ereignis, den Kopf nach oben zu bringen.

Das Wort "Wahrscheinlichkeit" bedeutet die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses. Das Beste, was wir sagen können, ist, wie wahrscheinlich es ist, dass sie eintreten, unter Verwendung der Idee der Wahrscheinlichkeit.

$ Wahrscheinlichkeit \: von \: Vorkommen \: von \: an \: Ereignis = \ frac {Gesamt \: Anzahl \: von \: günstiges \: Ergebnis} {Gesamt \: Anzahl \: von \: Ergebnisse} $

Da das Auftreten eines Ereignisses zwischen 0% und 100% variiert, variiert die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.

Schritte, um die Wahrscheinlichkeit zu finden

Schritt 1 - Berechnen Sie alle möglichen Ergebnisse des Experiments.

Schritt 2 - Berechnen Sie die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Experiments.

Schritt 3 - Wenden Sie die entsprechende Wahrscheinlichkeitsformel an.

Eine Münze werfen

Wenn eine Münze geworfen wird, gibt es zwei mögliche Ergebnisse - Heads $ (H) $ oder Tails $ (T) $

Also, Gesamtzahl der Ergebnisse = 2

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf $ (H) $ oben zu bekommen, 1/2 und die Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz $ (T) $ oben zu bekommen, 1/2

Würfel werfen

Wenn ein Würfel geworfen wird, können sechs mögliche Ergebnisse oben liegen - $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Die Wahrscheinlichkeit einer der Zahlen beträgt 1/6

Die Wahrscheinlichkeit, gerade Zahlen zu erhalten, beträgt 3/6 = 1/2

Die Wahrscheinlichkeit, ungerade Zahlen zu erhalten, beträgt 3/6 = 1/2

Karten von einem Deck nehmen

Wenn aus einem Kartenspiel mit 52 Karten eine Karte ausgewählt wird, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ass gezogen wird, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Diamant gezogen wird.

Gesamtzahl möglicher Ergebnisse - 52

Ergebnisse, ein Ass zu sein - 4

Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu sein = 4/52 = 1/13

Wahrscheinlichkeit, ein Diamant zu sein = 13/52 = 1/4

Wahrscheinlichkeitsaxiome

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses variiert immer von 0 bis 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Für ein unmögliches Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit 0 und für ein bestimmtes Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit 1.
Wenn das Auftreten eines Ereignisses nicht von einem anderen Ereignis beeinflusst wird, werden sie als sich gegenseitig ausschließend oder disjunkt bezeichnet.

Wenn $ A_1, A_2 .... A_n $ sich gegenseitig ausschließende / disjunkte Ereignisse sind, dann ist $ P (A_i \ cap A_j) = \ Emptyset $ für $ i \ ne j $ und $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Wenn zwei Ereignisse $ x $ und $ \ overline {x} $ komplementär sind, ist die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Für zwei nicht disjunkte Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse -

$ P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) $
Wenn ein Ereignis A eine Teilmenge eines anderen Ereignisses B ist (dh $ A \ Teilmenge B $), ist die Wahrscheinlichkeit von A kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit von B. Daher impliziert $ A \ Teilmenge B $ $ P (A. ) \ leq p (B) $

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, wenn ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Dies wird als $ P (B | A) $ geschrieben.

Mathematisch - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Wenn sich Ereignis A und B gegenseitig ausschließen, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis B nach dem Ereignis A die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B, die $ P (B) $ ist.

Problem 1

In einem Land besitzen 50% aller Teenager ein Fahrrad und 30% aller Teenager besitzen ein Fahrrad und Fahrrad. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teenager ein Fahrrad besitzt, wenn der Teenager ein Fahrrad besitzt?

Solution

Nehmen wir an, A ist das Ereignis von Teenagern, die nur ein Fahrrad besitzen, und B ist das Ereignis von Teenagern, die nur ein Fahrrad besitzen.

Also ist $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ und $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ aus dem gegebenen Problem.

$ P (B | A) = P (A \ Kappe B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teenager ein Fahrrad besitzt, wenn der Teenager ein Fahrrad besitzt, 60%.

Problem 2

In einer Klasse spielen 50% aller Schüler Cricket und 25% aller Schüler Cricket und Volleyball. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Volleyball spielt, wenn der Schüler Cricket spielt?

Solution

Nehmen wir an, A ist das Ereignis von Schülern, die nur Cricket spielen, und B ist das Ereignis von Schülern, die nur Volleyball spielen.

Also ist $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ und $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ aus dem gegebenen Problem.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Volleyball spielt, wenn der Schüler Cricket spielt, 50%.

Problem 3

Sechs gute Laptops und drei defekte Laptops sind durcheinander. Um die defekten Laptops zu finden, werden alle einzeln nach dem Zufallsprinzip getestet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekten Laptops in den ersten beiden Auswahlmöglichkeiten gefunden werden?

Solution

Sei A das Ereignis, dass wir im ersten Test einen defekten Laptop finden, und B das Ereignis, dass wir im zweiten Test einen defekten Laptop finden.

Daher ist $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ mal 2/8 = 1/12 $

Satz von Bayes

Theorem- Wenn A und B zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, wobei $ P (A) $ die Wahrscheinlichkeit von A und $ P (B) $ die Wahrscheinlichkeit von B ist, ist $ P (A | B) $ die Wahrscheinlichkeit von A gegeben dass B wahr ist. $ P (B | A) $ ist die Wahrscheinlichkeit von B, wenn A wahr ist, dann lautet der Satz von Bayes -

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Anwendung des Bayes'schen Theorems

In Situationen, in denen sich alle Ereignisse des Probenraums gegenseitig ausschließen.
In Situationen, in denen entweder $ P (A_i \ cap B) $ für jedes $ A_i $ oder $ P (A_i) $ und $ P (B | A_i) $ für jedes $ A_i $ bekannt sind.

Problem

Betrachten Sie drei Stifthalter. Der erste Stifthalter enthält 2 rote und 3 blaue Stifte. der zweite hat 3 rote und 2 blaue Stifte; und der dritte hat 4 rote Stifte und 1 blauen Stift. Es besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass jeder Stifthalter ausgewählt wird. Wenn ein Stift zufällig gezeichnet wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen roten Stift handelt?

Solution

Sei $ A_i $ das Ereignis, bei dem der i- ^ten Stiftständer ausgewählt ist.

Hier ist i = 1,2,3.

Da die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl eines Stiftständers gleich ist, ist $ P (A_i) = 1/3 $

Sei B der Fall, dass ein roter Stift gezeichnet wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Stift unter den fünf Stiften des ersten Stiftständers ausgewählt wird,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Stift unter den fünf Stiften des zweiten Stiftständers ausgewählt wird,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Stift unter den fünf Stiften des dritten Stiftständers ausgewählt wird,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Nach dem Satz von Bayes