Fungsi Cembung dan Cekung

Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, di mana S adalah cembung tidak kosong yang disetel di $ \ mathbb {R} ^ n $, lalu $ f \ left (x \ right) $ dikatakan cembung pada S jika $ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ leq \ lambda f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri ( x_2 \ kanan), \ depan \ lambda \ dalam \ kiri (0,1 \ kanan) $.

Di sisi lain, Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, di mana S adalah cembung yang tidak kosong yang disetel di $ \ mathbb {R} ^ n $, lalu $ f \ left (x \ right) $ dikatakan menjadi cekung pada S jika $ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ geq \ lambda f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan ) f \ kiri (x_2 \ kanan), \ depan \ lambda \ di \ kiri (0, 1 \ kanan) $.

Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ di mana S adalah cembung tidak kosong yang disetel di $ \ mathbb {R} ^ n $, lalu $ f \ left (x \ right) $ dikatakan cembung ketat pada S jika $ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) <\ lambda f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (x_2 \ kanan), \ depan \ lambda \ di \ kiri (0, 1 \ kanan) $.

Misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ di mana S adalah cembung tidak kosong yang disetel di $ \ mathbb {R} ^ n $, lalu $ f \ left (x \ right) $ dikatakan cekung ketat pada S jika $ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan)> \ lambda f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (x_2 \ kanan), \ depan \ lambda \ di \ kiri (0, 1 \ kanan) $.

Contoh

  • Fungsi linier adalah cembung dan cekung.

  • $ f \ kiri (x \ kanan) = \ kiri | x \ kanan | $ adalah fungsi cembung.

  • $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ adalah fungsi cembung.

Dalil

Misalkan $ f_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ menjadi fungsi cembung. Pertimbangkan fungsi $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ di mana $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2,. ..k, $ lalu $ f \ left (x \ right) $ adalah fungsi cembung.

Bukti

Karena $ f_1, f_2, ... f_k $ adalah fungsi konveks

Oleh karena itu, $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ kanan), \ depan \ lambda \ di \ kiri (0, 1 \ kanan) $ dan $ i = 1, 2, ...., k $

Pertimbangkan fungsi $ f \ left (x \ right) $.

Karena itu,

$ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) $

$ = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ lambda f_j \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f_j \ kiri (x_2 \ kanan) $

$ \ Panah kanan f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ leq \ lambda \ kiri (\ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ kiri ( x_1 \ kanan) \ kanan) + \ kiri (\ displaystyle \ sum \ batas_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ kiri (x_2 \ kanan) \ kanan) $

$ \ Kanan kanan f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ leq \ lambda f \ kiri (x_2 \ kanan) \ leq \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (x_2 \ kanan) $

Karenanya, $ f \ left (x \ right) $ adalah fungsi cembung.

Dalil

Misalkan $ f \ left (x \ right) $ menjadi fungsi cembung pada himpunan cembung $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ maka minimum lokal $ f \ left (x \ right) $ pada S adalah a minimum global.

Bukti

Misalkan $ \ hat {x} $ menjadi minimum lokal untuk $ f \ left (x \ right) $ dan $ \ hat {x} $ bukanlah minimum global.

oleh karena itu, $ \ existing \ hat {x} \ di S $ sedemikian sehingga $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $

Karena $ \ hat {x} $ adalah minimum lokal, terdapat lingkungan $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ sehingga $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ kiri (x \ kanan), \ depan x \ dalam N_ \ varepsilon \ kiri (\ topi {x} \ kanan) \ cap S $

Tapi $ f \ left (x \ right) $ adalah fungsi cembung pada S, oleh karena itu untuk $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

kita memiliki $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (\ bar {x} \ kanan) $

$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (\ hat {x} \ kanan) $

$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ kanan), \ depan \ lambda \ in \ kiri (0 , 1 \ kanan) $

Tetapi untuk beberapa $ \ lambda <1 $ tetapi mendekati 1, kami punya

$ \ lambda \ hat {x} + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) \ bar {x} \ di N_ \ varepsilon \ kiri (\ hat {x} \ kanan) \ cap S $ dan $ f \ kiri ( \ lambda \ hat {x} + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) \ bar {x} \ kanan) <f \ left (\ bar {x} \ kanan) $

yang merupakan kontradiksi.

Karenanya, $ \ bar {x} $ adalah nilai minimum global.

Prasasti

misalkan S adalah subset yang tidak kosong di $ \ mathbb {R} ^ n $ dan misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ maka prasasti dari f dilambangkan dengan epi (f) atau $ E_f $ adalah subset dari $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ ditentukan oleh $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ kiri (x \ kanan) \ leq \ alpha \ kanan \} $

Hipograf

misalkan S adalah subset yang tidak kosong di $ \ mathbb {R} ^ n $ dan misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, maka hipograf dari f dilambangkan dengan hyp (f) atau $ H_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ kanan) \ geq \ alpha \ right \} $

Dalil

Misalkan S adalah cembung tidak kosong yang disetel dalam $ \ mathbb {R} ^ n $ dan misalkan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $, maka f adalah cembung jika dan hanya jika prasasti $ E_f $ adalah satu set cembung.

Bukti

Misalkan f adalah fungsi cembung.

Untuk menampilkan $ E_f $ adalah himpunan cembung.

Misalkan $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Untuk menampilkan $ \ lambda \ kiri (x_1, \ alpha_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) \ kiri (x_2, \ alpha_2 \ kanan) \ dalam E_f $

$ \ Kananarrow \ kiri [\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) \ alpha_2 \ kanan] \ di E_f $

$ f \ kiri (x_1 \ kanan) \ leq \ alpha _1, f \ kiri (x_2 \ kanan) \ leq \ alpha _2 $

Oleh karena itu, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ kanan) $

$ \ Kanan kanan f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) \ alpha_2 $

Berbicara

Misalkan $ E_f $ adalah himpunan konveks.

Untuk menunjukkan f adalah cembung.

yaitu, untuk menunjukkan apakah $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $

$ f \ kiri (\ lambda x_1 + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) x_2 \ kanan) \ leq \ lambda f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ kiri (1- \ lambda \ kanan) f \ kiri (x_2 \ benar) $

Misalkan $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $

Karena $ E_f $ adalah himpunan cembung, $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ kanan) f \ kiri (x_2 \ kanan) \ dalam E_f $

Oleh karena itu, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ kanan) $