Optimasi Cembung - Ketimpangan Jensen

Misalkan S adalah cembung tidak kosong yang disetel di $ \ mathbb {R} ^ n $ dan $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $. Maka f adalah konveks jika dan hanya jika untuk setiap bilangan bulat $ k> 0 $

$ x_1, x_2, ... x_k \ in S, \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, s, k $, kita punya $ f \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ right) \ leq \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ kiri (x \ kanan) $

Bukti

Dengan induksi pada k.

$ k = 1: x_1 \ in S $ Oleh karena itu $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ karena $ \ lambda_i = 1 $.

$ k = 2: \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ dan $ x_1, x_2 \ dalam S $

Karenanya, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ dalam S $

Karenanya, menurut definisi, $ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ right) \ leq \ lambda _1f \ left (x_1 \ right) + \ lambda _2f \ left (x_2 \ right) $

Biarkan pernyataan itu benar untuk $ n <k $

Karena itu,

$ f \ kiri (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ lambda_k x_k \ kanan) \ leq \ lambda_1 f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ lambda_2 f \ kiri (x_2 \ kanan) + ... + \ lambda_k f \ kiri (x_k \ kanan) $

$ k = n + 1: $ Misalkan $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} \ dalam S $ dan $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

Oleh karena itu $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ in S $

jadi, $ f \ kiri (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) $

$ = f \ kiri (\ kiri (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ kanan) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) $

$ = f \ kiri (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) $ di mana $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $ dan

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} $ dan juga $ \ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ in S $

$ \ Kanan kanan f \ kiri (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) \ leq \ mu f \ kiri (y \ kanan) + \ mu_ {n +1} f \ kiri (x_ {n + 1} \ kanan) $

$ \ Sisi kanan f \ kiri (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) \ leq $

$ \ kiri (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ kanan) f \ kiri (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} \ kanan) + \ mu_ {n + 1} f \ kiri (x_ {n + 1} \ kanan) $

$ \ Sisi kanan f \ kiri (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) \ leq \ kiri (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ benar) $

$ \ kiri [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ kiri (x_1 \ kanan) + ... + \ frac {\ mu_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ kiri (x_n \ kanan) \ kanan] + \ mu_ {n + 1} f \ kiri (x_ {n + 1} \ kanan) $

$ \ Sisi kanan f \ kiri (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ kanan) \ leq \ mu_1f \ kiri (x_1 \ kanan) + \ mu_2f \ kiri ( x_2 \ kanan) + .... $

Karenanya Terbukti.